Tilpasset analyse

Ikke-standardanalyse  er en alternativ tilgang til retfærdiggørelsen af ​​matematisk analyse , hvor infinitesimaler  ikke er variable, men en særlig slags tal. I ikke-standardanalyse, på et moderne grundlag, realiseres ideen, der går tilbage til Leibniz og hans tilhængere om eksistensen af ​​andre uendelige størrelser end nul, en idé, som i den historiske udvikling af matematisk analyse blev erstattet af begrebet grænse for en variabel mængde. Mistillid til faktiske uendelige mængder i matematik blev forklaret med vanskelighederne ved deres formelle underbygning. Det er mærkeligt, at ideer om faktiske uendeligt store og uendeligt små mængder blev bevaret i lærebøgerne i fysik og andre naturvidenskaber, hvor sætninger som "lad der være  et (uendeligt lille) volumenelement ..." [1] ofte findes .

Leibniz' koncept blev rehabiliteret, da den første moderne udstilling af infinitesimale metoder dukkede op, givet af Abraham Robinson i 1961. I modsætning til traditionel analyse, baseret på reelle og komplekse tal , beskæftiger ikke-standardanalyse sig med et bredere felt af hyperreelle tal , hvor Archimedes' aksiom [2] ikke holder .

Ikke-standardanalyse opstod som en gren af ​​matematisk logik , dedikeret til anvendelsen af ​​teorien om ikke-standardmodeller til forskning inden for traditionelle matematikområder: matematisk analyse , funktionsteori , teorien om differentialligninger , topologi osv.

Kurt Gödel skrev i 1973: "Der er gode grunde til at tro, at ikke-standardiseret analyse i en eller anden form vil blive fremtidens analyse" [3] .

Grundlæggende

Generelt kan Robinsons grundlæggende metode beskrives som følger. Der tages hensyn til en vis matematisk struktur , og der konstrueres et logisk-matematisk sprog af 1. orden, som afspejler de aspekter af denne struktur, som er af interesse for forskeren. Derefter, ved hjælp af metoderne fra teorien om modeller , bygges en ikke-standardmodel af teorien om struktur , som er dens egen forlængelse . Med korrekt konstruktion kan nye, ikke-standardiserede elementer i modellen fortolkes som begrænsende, "ideelle" elementer af den oprindelige struktur. For eksempel, hvis et ordnet felt med reelle tal oprindeligt blev betragtet , så er det naturligt at betragte ikke-standardelementer i modellen som "uendeligt små", det vil sige uendeligt store eller uendelige små, men forskellige fra nul, reelle tal. I dette tilfælde overføres alle de sædvanlige relationer mellem reelle tal automatisk til ikke-standardelementer med bevarelse af alle deres egenskaber udtrykt i det logisk-matematiske sprog. På samme måde definerer et ikke-standardelement i filterteori på et givet sæt et ikke-tomt skæringspunkt mellem alle filterelementer; i topologi opstår en familie af ikke-standardpunkter, placeret "uendeligt tæt" på et givet punkt. Fortolkningen af ​​ikke-standardelementer i modellen giver os ofte mulighed for at give bekvemme kriterier for almindelige begreber i form af ikke-standardelementer. For eksempel kan man bevise, at en standard reel funktion er kontinuert på et standardpunkt, hvis og kun hvis den er uendeligt tæt på for alle (og ikke-standard) punkter uendeligt tæt på . De resulterende kriterier kan med succes anvendes til beviset for almindelige matematiske resultater.

Resultaterne af standardmatematik, opnået ved metoder til ikke-standardanalyse, kan naturligvis genbevises på den sædvanlige måde, men overvejelse af en ikke-standardmodel har den væsentlige fordel, at den giver mulighed for faktisk at indføre "ideelle" elementer i argumentet, som giver mulighed for at give gennemsigtige formuleringer for mange begreber relateret til grænseovergange.fra finit til uendelig. Ved hjælp af ikke-standardanalyse blev en række nye fakta opdaget. Mange klassiske beviser opnår mærkbart klarhed, når de præsenteres med metoder til ikke-standardanalyse. Ikke-standardanalyses plads og rolle er dog langt fra udtømt af dette.

I vore dages forståelse er ikke-standardanalyse en generel matematisk metode baseret på begrebet faktisk uendelige mængder. Nu er ikke-standardanalyse konstrueret aksiomatisk inden for rammerne af nye varianter af mængdelære, blandt hvilke de mest almindelige er Nelsons interne mængdeteori og Kawais eksterne mængdelære. Disse teorier er baseret på formalisering af ideer, der går tilbage til gamle ideer om forskellen mellem faktiske og potentielle uendeligheder. Disse teorier er en konservativ forlængelse af Zermelo-Fraenkel-teorien og har derfor samme strenghedsstatus, når de betragtes som grundlaget for moderne matematik. Samtidig har nye teorier usammenligneligt bredere muligheder.

Standard- og ikke-standardelementer

Det meningsfulde udgangspunkt for ikke-standardanalysens aksiomatik er forestillingen om, at hvert matematisk objekt kun kan indeholde elementer af to typer. Elementer af den første type er tilgængelige for os enten på en direkte eller potentielt uendelig måde, i den forstand, at vi enten kan indikere sådanne elementer direkte eller bevise deres eksistens og unikke ved hjælp af de tilgængelige objekter, der allerede er til vores rådighed. Objekter af denne type kaldes standard, og andre kaldes ikke-standard.

Ikke-standardanalyse postulerer, at der i hvert uendeligt sæt af objekter er mindst ét ​​ikke-standardelement - "idealiseringsprincippet". Samtidig er standardobjekter tilstrækkelige til at studere de klassiske matematiske egenskaber af ethvert objekt - "overførselsprincippet". Det er også muligt at sætte standardobjekter ved at vælge standardelementer med en given egenskab - "standardiseringsprincippet". Varianter af disse principper er til stede i al aksiomatik af ikke-standardanalyse.

Selve standardobjektet er ofte uendeligt. Lad os sige, at ikke kun specifikke naturlige tal 5, 7, 10 i potensen 10 til 10, transcendentale tal som π og e er standard , men også komplette samlinger af alle naturlige tal eller alle reelle tal . Da  er et uendeligt sæt , så er der et ikke-standardelement N . Det er tydeligt, at N er større end 1, fordi 1 er et standardtal. Hvis tallet m er standard, så er følgende tal m + 1 også standard, fordi det entydigt er opnået fra to standardtal. Således er hvert ikke-standard naturligt tal større end ethvert naturligt standardtal. Derfor kaldes ikke-standardiserede naturlige tal uendeligt store. Tallet r er uendeligt stort, hvis | r | større end et eller andet uendeligt stort naturligt tal. Infinitesimale tal, der ikke er nul, er de reciproke tal af uendeligt store tal. Grundlæggerne af infinitesimal analyse talte ikke om standard eller ikke-standard tal, men fremhævede "tal, der kan gives." For eksempel anså Euler et positivt tal for at være uendeligt stort, hvis det er større end et givet tal.

Et tal, der ikke er uendeligt, kaldes et endeligt tal. To tal siges at være uendeligt tæt på, hvis forskellen mellem dem er uendelig lille. Det kan bevises, at hvert endeligt tal er uendeligt tæt på det eneste standardtal, dets standarddel . Tal, der er uendeligt tæt på et givet endeligt tal, udgør dens monade . Monader er ikke almindelige mængder (de kaldes eksterne mængder i forhold til Zermelo-Fraenkel-verdenen). Monader med forskellige standardtal skærer ikke parvis, men i foreningen dækker de alle endelige tal. Således afspejler den formelle teknik med ikke-standardanalyse godt naturfilosofiske ideer om den dobbelte "diskrete-kontinuerlige" struktur af den "fysiske" tallinje.

Én repræsentation af ikke-standard tal

Ikke-standardanalyse bruger et nyt primært koncept - egenskaben for et objekt at være eller ikke at være standard. I "standard" matematik er disse forskelle normalt uudsigelige: man kan ikke tale om faktiske uendeligt store og uendeligt små konstanter.

Faktisk er den formelle teori om ikke-standardanalyse en konservativ udvidelse af den klassiske, det vil sige, at enhver bedømmelse af klassisk matematik, bevist ved hjælp af ikke-standardanalyse, kan bevises uden at bruge nye metoder. Der er dog en teknisk nyttig "klassisk" repræsentation af ikke-standard tal, som er givet af den såkaldte. dobbelttal , det vil sige tal på formen , hvor .

Ansøgninger

Samtidig er ikke-standardanalyse i stand til at studere egenskaberne af faktisk uendelige objekter, hvilket tilbyder nye modelleringsmetoder, der er utilgængelige for standardmatematik. Vi kan sige, at ikke-standardanalyse studerer nøjagtig de samme matematiske objekter som standardmatematik. Men i hvert sådant objekt ser han en ekstra intern struktur, som fuldstændig ignoreres af almindelig matematik. Nogle gange sammenlignes metoden til ikke-standardanalyse med farve-tv. Et sort-hvidt tv er i stand til at vise de samme objekter som et farve-tv, men det er ikke i stand til at formidle rigdommen af ​​farverne i deres bestanddele. Denne analogi illustrerer klart den grundlæggende omstændighed, at rollen som ikke-standardanalyse er meget bredere end at give yderligere midler til at forenkle apparatet til almindelig matematik. Ikke-standardanalyse afslører for os den rige indre struktur af klassiske matematiske objekter, fyldt med både tilgængelige og kun imaginære elementer.

Litteratur

• Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitesimal analyse . - Novosibirsk: Institut for Matematik, 2006.
• Davis M. Anvendt ikke-standardanalyse. M.: Mir, 1980.
• Uspensky V. A. Hvad er ikke-standardanalyse.  (utilgængeligt link) M.: Nauka, 1987.
• Uspensky B. Ikke-standardanalyse // Videnskab og liv . - 1984. - Nr. 1 . - S. 45-50 .
• Kanovei V., Reeken M. Ikke- standardanalyse, aksiomatisk. Berlin: Springer-Verlag, 2004.
• Robinson, Abraham. ikke-standard analyse. Princeton University Press, 1996.

• Albeverio S., Fenstad J., Heeg-Kron R., Lindstrom T. Ikke-standardiserede metoder i stokastisk analyse og matematisk fysik, M.: Mir, 1990, 616 pp., ISBN 5-03-001180-3 .
• Zvonkin A. K., Shubin M. A. Ikke-standardanalyse og singulære forstyrrelser af almindelige differentialligninger // Advances in Mathematical Sciences , 39 (1984), nr. 2, s. 77-127.

Noter

1. ↑ Se for eksempel: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Fysikkursus . - M . : Higher School, 1999. - S. 128 og videre.
2. ↑ Panov V.F. Gammel og ung matematik. - Ed. 2., rettet. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
3. ↑ Kutateladze S. S. Ikke-standardanalyse er 50 år gammel  // Videnskab i Sibirien. - 2012. - Udgave. 11 (2846) . - S. 6 .