Analytisk funktion

En analytisk funktion af en reel variabel er en funktion, der falder sammen med dens Taylor-serie i nærheden af ethvert punkt i definitionsdomænet.

En funktion med enkelt værdi kaldes analytisk på et tidspunkt, hvis begrænsningen af funktionen til et område er en analytisk funktion. Hvis en funktion er analytisk på et punkt , så er den analytisk på hvert punkt i et eller andet område af punktet . $f$ $z_{0}$ $f$ $z_{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$

En enkeltvurderet analytisk funktion af en kompleks variabel er en funktion, for hvilken en af de fire ækvivalente betingelser er opfyldt i et simpelt forbundet domæne , kaldet analyticitetsdomænet: $f(z)$ $A\delsæt {\mathbb C}$

Taylor-rækken af funktionen konvergerer på hvert punkt , og dens sum er ( analyticitet i betydningen Weierstrass ). $z\in A$ $f(z)$
På hvert punkt , Cauchy-Riemann betingelser og er opfyldt Her , og er de reelle og imaginære dele af den funktion, der overvejes. ( Analytisk i Cauchy-Riemann forstand .) $z=x+iy\i A$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y))$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
Et integral for enhver lukket kurve ( analyticitet i Cauchy-forstand ). $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \delsæt A$
Funktionen er holomorf i domænet . Det vil sige, at det er komplekst differentierbart på hvert punkt . $f(z)$ $EN$ $f(z)$ $z\in A$

Forløbet af kompleks analyse beviser ækvivalensen af disse definitioner.

Egenskaber

Aritmetiske egenskaber

Hvis og er analytiske i domænet $f(z)$ $g(z)$ $G\subset \mathbb {C}$

Funktionerne og er analytiske i . $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $f(g(z))$ $G$
Hvis det ikke forsvinder i regionen , så vil det være analytisk i $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G$
Hvis det ikke forsvinder i regionen , vil det være analytisk i . $f'(z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

En analytisk funktion er uendeligt differentierbar i sit analytiske domæne. For komplekse funktioner af en variabel er det omvendte også sandt.

Nogle egenskaber ved analytiske funktioner er tæt på egenskaberne for polynomier , hvilket dog ikke er overraskende - definitionen af analyticitet i Weierstrass betydning indikerer, at analytiske funktioner på en eller anden måde begrænser varianter af polynomier. Antag, ifølge algebras grundlæggende sætning , kan ethvert polynomium ikke have nuller mere end sin grad. For analytiske funktioner er et lignende udsagn sandt, som følger af unikhedssætningen i en alternativ form:

Hvis sættet af nuller for en funktionsanalytisk i et simpelt forbundet domæne har et grænsepunkt i dette domæne , så er funktionen identisk lig nul.
For en funktion af flere reelle variable er det ikke nok at være analytisk med hensyn til hver af variablerne for, at funktionen er analytisk. For en funktion af flere komplekse variable er det tilstrækkeligt at være analytisk med hensyn til hver af variablerne til, at funktionen er analytisk ( Hartogs' sætning ).

Eksempler

Alle polynomier i z er analytiske funktioner på hele planet . $\mathbb {C}$

Yderligere er analytiske, selvom de ikke er på hele det komplekse plan, rationelle funktioner , eksponentiel funktion , logaritme , trigonometriske funktioner , inverse trigonometriske funktioner og mange andre klasser af funktioner, såvel som summer, forskelle, produkter, partielle analytiske funktioner.

Eksempler på ikke-analytiske funktioner på omfatter $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\overline {z}$ ,

da de ikke har en kompleks afledt på noget tidspunkt. I dette tilfælde vil begrænsningen til den reelle akse være en analytisk funktion af den reelle variabel (da den falder fuldstændig sammen med funktionens begrænsning ). $f(z)=\overline {z}$ $f(z)=z$

Se også

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Pr. fra engelsk. - 2. udg., revideret. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel: En manual for videregående uddannelse. - M. - L .: Statens Forlag, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Conway, John B. Funktioner af en kompleks variabel I. — 2. - Springer-Verlag , 1978. - ( Graduate Texts in Mathematics 11). - ISBN 978-0-387-90328-6 .
Krantz, Steven; Parks, Harold R.Enprimer af reelle analytiske funktioner . — 2. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .

Links

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Analytisk funktion , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Analytic Function (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Løser for alle nuller i en kompleks analytisk funktion, der ligger inden for et rektangulært område af Ivan B. Ivanov

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk stor kinesisk Stor russer Moderne Ukraine
I bibliografiske kataloger	BNF : 119507313 J9U : 987007294737305171 LCCN : sh85004784 NDL : 00564621 NKC : ph114039