Gearforhold

Sammenkædningskoefficienten er et heltal eller et brøktal forbundet med to usammenhængende cyklusser og i en orienterbar manifold af dimension , hvis homologiklasser tilhører torsionsundergrupperne i hhv . ${\displaystyle z^{k-1))$ ${\displaystyle z^{nk))$ $M$ $n$ $H_{k-1}(M,\mathbb {Z} )$ $H_{nk}(M,\mathbb {Z} )$

Det enkleste eksempel er koblingskoefficienten for to ikke-skærende lukkede kurver af rummet , den er lig med graden af kortlægning defineret som $L_{1},\ L_{2}$ $\mathbb R^3$ ${\displaystyle \phi \colon L_{1}\ gange L_{2}\to S^{2))$

{\displaystyle \phi (x,y)=(yx)/|yx|,\ x\in L_{1},\ y\in L_{2))

Sammenkædningskoefficienten ændres ikke under kontinuerlige deformationer af kurverne, hvis kurverne under denne deformation ikke skærer hinanden - det vil sige, det er en invariant af denne sammenkædning. Hvis vi strækker en orienteret overflade ud på en kurve, vil skæringsindekset være lig med antallet af skæringspunkter for den første kurve med denne overflade, taget med de tilsvarende fortegn.

Forbindelseskoefficienten er defineret på samme måde i tilfælde af lukkede orienterede manifolds og placeret i rummet . $M^{k-1}$ $M^{nk}$ $\mathbb {R} ^{n}$

I det generelle tilfælde bestemmes koblingskoefficienten gennem skæringsindekset som følger:

Hvis der er en dimensionel kæde for hvilken , og er skæringsindekset med , så er linkindekset . Dette tal afhænger ikke af valget af film . $C^k$ $k$ ${\displaystyle \partial C^{k}=az^{k-1))$ $b$ $C^k$ ${\displaystyle z^{nk))$ $b/a$ $C^k$

Populær definition

Forbindelseskoefficienten for to orienterede konturer x og y, der ikke skærer hinanden, er defineret som summen af forbindelseskoefficienterne over alle dobbeltpunkter af konturprojektionen på konturen og på et eller andet plan. For hvert dobbeltpunkt er koblingskoefficienten , hvis konturen ved bevægelse i konturretningen skærer den fra venstre mod højre og , hvis konturen skærer den fra højre mod venstre. Hvis to sektioner af samme kontur skærer hinanden, eller hvis x-konturen passerer over y-konturen, tildeles dobbeltpunktet en forbindelsesfaktor [1] . $y$ $x$ $en$ $x$ $y$ $-en$ $y$ $0$

Egenskaber

Hvis vi vender rollerne for cyklusser og , så vil koblingskoefficienten blive ganget med . ${\displaystyle z^{k-1))$ ${\displaystyle z^{nk))$ ${\displaystyle (-1)^{k(nk)))$
Hvis vi erstatter nogen af cyklusserne med en homolog ud over den anden, så ændres koblingskoefficienten ikke. Dette faktum er grundlaget for fortolkningen af Alexander-dualitet med hensyn til links.
Når en af cyklusserne erstattes af en hvilken som helst homolog med den, ændres koblingskoefficienten med et heltal, på grund af hvilket parringen af torsionsundergrupper i og med værdier i kvotientgruppen er defineret . Denne parring etablerer Pontryagin-dualitet mellem dem . $H_{k-1}(M,Z)$ $H_{nk}(M,Z)$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
- Især for torsionsundergruppen i tilfældet definerer dette
en bilineær selvlinkende form med værdier, hvori er en homotopi invariant af manifolden. $H_{m}(M,\mathbb {Z} )$ $n=2m+l$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

Noter

↑ Boltyansky, 1982 , s. 92.

Litteratur

Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuel topologi. — M .: Nauka, 1982. — 160 s.

Teori om knob og led
Hyperbolsk	Otte (4 1 ) Tre halve omgange (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par Percos (10 161 ) Blonder (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromæiske ringe (63 2) L10a140
satellit	Sammensatte ( babiy ) lige Summen af knob
torisk	Trivielt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Frakoblet (02 1) Hopf (22 1) Salomon (42 1)
Invarianter	skiftevis Arfa invariant Antal broer ( 2-broer ) Brunnsk link Chiralitet ( reversibel ) Antal film Antal kryds Vasiliev invariant Hyperbolsk volumen Khovanovs homologi Slægt Nodegruppe Gear gruppe Gearforhold Polynomier ( Alexander Kauffman beslag HØFLIGT Jones Kaufman ) Blondeforlovelse Simpel knude ( liste ) Antal segmenter Antal trefarvede farver Antallet af og opgaven med afbinding
Notation og operationer	Alexander-Briggs notation Conway notation Docker-notation Mutation Reidemeister-bevægelsen Skene forhold
Andet	Alexanders teorem Berge knude fletningsteori Conway sfære Node færdiggørelse Dobbelt torus knude Lagdelt knude Tape Skære Summen af knob Tates hypoteser Snoet Vild Twist nummer Seifert overflade