Integro-differentialligninger
Integro-differentialligninger er en klasse af ligninger , hvor den ukendte funktion er indeholdt både under integraltegnet og under differential- eller afledt fortegn .
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y,{P}_{{m}}[\ varphi (y)])dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899699df789491968f4d4219273141a6e54426f3)
hvor
kaldes den ydre differentialoperator, og er den interne differentialoperatør er kernen i integro-differentialligningen![{L}_{{n}}[\varphi (x)]={\frac {{d}^{{n}}\varphi (x)}{{dx}^{{n))))+{ a}_{{1}}(x){\frac {{d}^{{n-1}}\varphi (x)}{{dx}^{{n-1}}}}+... +{a}_{{n}}(x)\varphi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0081689dacab72f823a1c2a7b11f4047c89638c8)
![{P}_{{m}}[\varphi (y)]={\frac {{d}^{{m}}\varphi (y)}{{dy}^{{m}}}}+{ b}_{{1}}(y){\frac {{d}^{{m-1}}\varphi (y)}{{dy}^{{m-1}}}}+... +{b}_{{m}}(y)\varphi (y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f26bc52cb5ab78ba6c8fd9a5d3a28ccade779d0)
![K(x,y,{P}_{{m}}[\varphi (y)])](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f365531dab09700aa187c84e9cf8e5aeccf6c009)
Nogle integro-differentialligninger kan reduceres til differentialligninger i et Banach-rum , men der er evolutionære integro-differentialligninger (forekommer i elasticitetsteori og modeller af biologiske processer), der indeholder integration over tid, for hvilket dette er svært at gøre.
Klassifikation af integro-differentialligninger
Lineære integralligninger
Lineære integro-differentialligninger er ligninger, hvor den interne differentialoperator indtaster lineært:
Fredholms ligninger![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619dba498117392773d3f33ce153f55e9ca888ed)
En lineær integro-differential Fredholm-ligning er en ligning med konstante grænser for integration
Fredholm-ligninger af 1. slagsEn integro-differential Fredholm-ligning af 1. slags er en ligning af formen:
Fredholms ligninger af 2. slags![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cfdd30bb7ccd0c7751e5715d25ebaa0ad4e66a)
En integro-differential Fredholm-ligning af 2. slags er en ligning af formen:
Volterras ligningerEn lineær integro-differential Volterra-ligning er en ligning med en variabel øvre grænse for integration
Volterra-ligninger af 1. slagsVolterra integro-differentialligningen af 1. slags er en ligning af formen:
Volterras ligninger af 2. slags![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718ddb4933ad61041215d9ff67124c7dfe90fc86)
Volterra integro-differentialligningen af 2. slags er en ligning af formen:
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42c0e0b2290de836116667d80224c63fdb3be86)
Ikke-lineære integralligninger
En ikke-lineær Fredholm-ligning er en integro-differentialligning, hvor den interne differentialoperator indtaster ikke-lineært:
Metoder til løsning af integro-differentialligninger
Se også
Litteratur
- GA Shishkin, Lineære integro-differentielle Fredholm-ligninger. Lærebog til specialkurset og specialseminaret. Buryat State Universitys forlag 2007.
| Matematisk fysik | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Typer af ligninger | |||||||||||
| Typer af ligninger | |||||||||||
| Grænsebetingelser | |||||||||||
| Matematisk fysiks ligninger |
| ||||||||||
| Løsningsmetoder |
| ||||||||||
| Studie af ligninger | |||||||||||
| relaterede emner | |||||||||||