Hyperbolsk volumen

I knudeteorien er det hyperbolske volumen af ​​et hyperbolsk link lig med volumenet af komplementet af linket med hensyn til dets fulde hyperbolske metrisk. Volumen er nødvendigvis et endeligt reelt tal. Det hyperbolske volumen af ​​en ikke-hyperbolsk knude antages ofte at være nul. Ifølge Mostows rigiditetssætning er volumenet en topologisk invariant af forbindelsen [1] . Som en linkinvariant blev volumen først undersøgt af William Thurston i forbindelse med hans geometriseringshypotese [2] .

Der er kun et begrænset antal hyperbolske knob med samme volumen [2] . En hyperbolsk knudemutation vil have samme størrelse [3] , så det er muligt at lave eksempler med samme størrelse. Desuden er der vilkårligt store endelige sæt af forskellige noder med samme volumen [2] . I praksis er hyperbolsk volumen meget effektiv til at skelne noder, som bruges flittigt til at optælle noder . Computerprogrammet SnapPea [ Jeffrey Weeks beregner hyperbolsk volumen af ​​linket [1] .  

Det hyperbolske volumen kan defineres for enhver hyperbolsk 3-manifold . Wicks manifold har det mindst mulige volumen blandt lukkede manifolds (manifolden, i modsætning til komplementet af linket, har ingen spidser) og dens volumen er omtrent lig med 0,9427 [4] .

Liste

Noter

  1. 1 2 Adams, Hildebrand, Weeks, 1991 , s. 1-56.
  2. 1 2 3 Wielenberg, 1981 , s. 505-513.
  3. Ruberman, 1987 , s. 189-215.
  4. Gabai, Meyerhoff, Milley, 2009 , s. 1157-1215.

Litteratur

Links