Den fulde lineære gruppe (nogle gange bruges udtrykket generel lineær gruppe ) refererer til to forskellige (dog tæt beslægtede) begreber.
Den fulde lineære gruppe af et vektorrum V er gruppen af inverterbare lineære operatorer af formen C : V → V [1] . Gruppeoperationens rolle spilles af den sædvanlige sammensætning af lineære operatører.
Normalt betegnet GL( V ) .
Den komplette lineære gruppe af orden n er gruppen af inverterbare matricer af orden n (det vil sige kvadratiske matricer med n rækker og n kolonner) [2] . Gruppeoperationens rolle spilles af den sædvanlige matrixmultiplikation.
Normalt betegnet GL( n ) [3] . Hvis det er påkrævet eksplicit at angive hvilket felt (eller i et mere generelt tilfælde kommutativ ring med enhed) K matrixelementerne skal høre til, så skriv: GL( n , K ) [4] eller GL n ( K ) .
Så hvis matricer over reelle tal betragtes , er den fulde lineære gruppe af orden n angivet med GL( n , R ) , og hvis over komplekse tal , så GL( n , C ) .
Begge disse begreber er faktisk tæt beslægtede. For det første kan en kvadratisk matrix af orden n ses som en lineær operator, der virker på et aritmetisk vektorrum K n (det vil sige rummet af n - dimensionelle søjler med elementer fra K ). Derfor GL( n , R ) = GL( R n ) og GL( n , C ) = GL( C n ) .
For det andet tillader introduktionen af en basis i et n -dimensionelt vektorrum V over et felt af skalarer K en-til-en overensstemmelse mellem en lineær operator C : V → V med dens matrix , en kvadratisk matrix af orden n fra komponenterne af operatør C på dette grundlag. I dette tilfælde vil den inverterbare operator svare til en ikke-singular matrix , og vi opnår en en-til-en overensstemmelse mellem grupperne GL( V ) og GL( n , K ) (denne overensstemmelse er faktisk en isomorfi af disse grupper).
Hvis V er et vektorrum over et felt af skalarer K , så er den fulde lineære gruppe af rummet V gruppen af alle automorfier i rummet V. Gruppen GL( V ) og dens undergrupper kaldes lineære grupper .
I den generelle lineære gruppe GL( n , K ) kan man udskille en undergruppe SL( n , K ) bestående af alle matricer med determinant lig med 1. Dette er en speciel lineær gruppe af orden n , betegnet med SL( n , K ). ) .
Andre vigtige undergrupper af gruppen GL( n , K ) :
Gruppen GL( n , K ) og dens undergrupper kaldes ofte matrixgrupper (bemærk at de også kan kaldes lineære grupper , men gruppen GL( V ) er lineær, men ikke matrix).
Især er undergrupperne i gruppen GL( n , R ) den specielle lineære gruppe SL( n , R ) , den ortogonale gruppe O( n ) , den specielle ortogonale gruppe SO( n ) osv.
Undergrupperne i gruppen GL( n , C ) er den specielle lineære gruppe SL( n , C ) , enhedsgruppen U( n ) , den særlige enhedsgruppe SU( n ) af orden n osv.
De fulde lineære grupper GL( n , R ) og GL( n , C ) (såvel som deres hovedundergrupper anført i de to foregående afsnit) er [5] Lie-grupper . Disse grupper er vigtige i grupperepræsentationsteori ; de opstår også i studiet af forskellige former for symmetrier .
Bemærk også, at for n = 1 reduceres gruppen GL( n , K ) faktisk til gruppen ( K * , •) af ikke-nul skalarer i feltet K (begge grupper er kanonisk isomorfe) og er derfor abelsk (kommutativ). For n større end 1 er grupperne GL( n , K ) ikke abelske.
| Gruppeteori | |
|---|---|
| Basale koncepter | |
| Algebraiske egenskaber | |
| begrænsede grupper |
|
| Topologiske grupper |
|
| Algoritmer på grupper | |