Antal kryds (knutteori)

I knudeteori er skæringsnummeret for en knude  det mindste antal skæringspunkter i et knudediagram. Antallet af kryds er knudeinvarianten .

Eksempler

Som et eksempel har den trivielle knude nul krydsninger, trefoilen har tre krydsninger, og den otte har fire krydsninger. Der er ikke flere knudepunkter med kryds på fire eller mindre, og kun to knudepunkter med kryds på fem, men antallet af knudepunkter med specifikke kryds vokser hurtigt, efterhånden som antallet af kryds stiger.

Tabeller

Tabeller over simple knob er traditionelt indekseret efter antallet af kryds, med en yderligere beskrivelse af, hvilken knude af knobsættet med et givet antal kryds, der menes (denne rækkefølge er ikke baseret på nogen egenskaber, med undtagelse af torus knob , for hvilke snoede knob er anført først). Listen starter med 3 1 (shamrock), 4 1 (otte), 5 1 , 5 2 , 6 1 , og så videre. Denne rækkefølge har ikke ændret sig væsentligt siden Tait offentliggjorde tabellen i 1877 [1] .

Additivitet

Der er meget få fremskridt med hensyn til at forstå adfærden af ​​skæringsnummeret i elementære operationer på noder. Det store åbne spørgsmål er, om antallet af kryds er additivt i forhold til sammenkædningsoperationen . Det forventes også, at node Ks satellitknude vil have flere skæringspunkter end K , men dette er ikke blevet bevist.

Additiviteten af ​​antallet af skæringer af en sammenkædning af knob er blevet bevist i særlige tilfælde, for eksempel hvis de oprindelige knob er alternerende [2] eller hvis de oprindelige knob er toriske [3] [4] . Mark Luckenbay har givet et bevis på, at der er en konstant N  > 1 sådan, at , men hans metode ved hjælp af normale overflader kan ikke forbedre N til 1 [5] .

Ansøgning i bioinformatik

Der er en mærkelig sammenhæng mellem antallet af knudekrydsninger og den fysiske adfærd af DNA- knuder . For simple DNA-knuder er antallet af krydsninger en god forudsigelse for den relative hastighed af DNA-knuden ved agarosegelelektroforese . Grundlæggende giver et højere antal krydsninger en højere relativ hastighed [6] .

Relaterede invarianter

Der er beslægtede begreber om det gennemsnitlige antal kryds og det asymptotiske antal kryds. Begge disse begreber definerer grænserne for standardantallet af kryds. Der er en formodning om, at det asymptotiske antal kryds er lig med antallet af kryds.

Andre numeriske knude-invarianter inkluderer antallet af broer , koblingsfaktoren , antallet af segmenter og optrævlingstallet .

Noter

  1. ↑ Tait, 1898 , s. 273-347.
  2. ↑ Adams, 2004 , s. 69.
  3. ↑ Gruber, 2003 .
  4. ↑ Diao, 2004 , s. 857-866.
  5. ↑ Lackenby, 2009 , s. 747-768.
  6. ↑ Jonathan, 1996 , s. 39-58.

Litteratur