Gruppens karakter

Karakteren er en multiplikativ kompleks - vurderet funktion på gruppen . Med andre ord, hvis er en gruppe , så er karakteren en homomorfi fra til multiplikationsgruppen af et felt (normalt feltet med komplekse tal ). $G$ $G$

Nogle gange betragtes kun enhedstegn - homomorfismer i den multiplikative feltgruppe, hvis billede ligger på enhedscirklen , eller, i tilfælde af komplekse tal, homomorfismer til . Alle andre homomorfismer i kaldes i dette tilfælde kvasikarakterer . $U(1)$ $k^{*}$

Relaterede definitioner

Karakteren af en topologisk gruppe er defineret som en kontinuerlig homomorfi ind i den multiplikative gruppe af et felt. Derfor er karakteren af en algebraisk gruppe en rationel homomorfi i $k^{*}.$

Gruppevisningens natur er en tæt definition for gruppevisninger , elementet vises i sporet af dets visning.

Egenskaber

For en vilkårlig gruppe danner sættet af tegn en abelsk gruppe med operationen $G$ ${\mathrm {Ch}}(G)$ $\chi _{a}\cdot \chi _{b}=\chi _{{ab}}.$
- Denne gruppe kaldes gruppen af tegn .

Tegnene er lineært uafhængige , det vil sige, hvis de er forskellige karakterer af gruppen G , så følger det af ligheden , at $\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ $a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0$ $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.$

Tegn i U(1)

Et vigtigt specialtilfælde af tegn er tilknytning til gruppen af komplekse tal modulo en . Sådanne tegn har formen , hvor , og studeres bredt [1] [2] [3] [4] i talteori i forbindelse med fordelingen af primtal i uendelige aritmetiske forløb . I dette tilfælde er gruppen under undersøgelse en restring med en additionsoperation, og funktionen er lineær . Desuden bestemmer sættet af forskellige værdier af den lineære koefficient i funktionen en gruppe af tegn, der er isomorfe for gruppen . ${\displaystyle \chi (a)=e^{2\pi \varphi (a)i))$ $\varphi :G\to {\mathbb {R} },\ \forall a,b\in (G,\circ ):\ \varphi (a)+\varphi (b)=\varphi (a\ omkreds b)$ ${\mathbb {Z} }_{n}$ $\varphi$ $\varphi$ ${\mathbb {Z} }_{n}$

Eksempel

Overveje ${\mathbb {Z} }_{3}=\left\lbrace {[0],[1],[2]}\right\rbrace$

For vi definerer $\lambda =0,1,2$

{\displaystyle \chi _{\lambda }(x)=e^{2\pi {\frac {\lambda x}{3}}i))

Et sæt med operation af punktvis multiplikation danner en gruppe af tegn i . Det neutrale element i denne gruppe er , fordi . $\left\lbrace {\chi _{0},\chi _{1},\chi _{2}}\right\rbrace$ $U(1)$ $\chi_0$ $\forall x\in {\mathbb {Z} }_{3}:\ \chi _{0}(x)=e^{2\pi {\frac {0\cdot x}{i)) }=e^{0}=1$

Et klassisk eksempel på brug af tegn modulo er Dirichlets primtalssætning i aritmetisk progression .

For uendelige cykliske grupper isomorfe , vil der være et uendeligt sæt af tegn af formen , hvor . ${\mathbb {Z} }$ ${\chi _{\alpha }}(n)=e^{2\pi n\alpha i}$ $\alpha \in(0;1)$

Karakterer af endeligt genererede grupper

For en vilkårlig endeligt genereret Abelsk gruppe er det også muligt [5] eksplicit og konstruktivt at beskrive sættet af tegn i . Til dette bruges sætningen om nedbrydning af en sådan gruppe til et direkte produkt af cykliske grupper . $(G,\circ )$ $U(1)$

Da enhver cyklisk gruppe af orden er isomorf for en gruppe, og dens karakterer er altid afbildet til mængden , så for en gruppe repræsenteret ved et direkte produkt af cykliske grupper , kan vi parametrisere karakteren som et produkt af karaktererne i disse cykliske grupper: $h$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{h))$ $U(1)$ $\left\lbrace {e^{2\pi {\frac {k}{h}}i}:\ k=0,\dots ,h-1}\right\rbrace$ ${\displaystyle G=G_{1}\otimes \dots \otimes G_{s))$ $G_{i}=\left\lbrace {{g_{i}}^{k}\ :\ 0\leq k<n_{i}}\right\rbrace$

\chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}(x)=e^{2\pi {\frac {k_{1}}{n_{1}}}}\cdot e ^{2\pi {\frac {k_{s}}{n_{s}}}}=e^{2\pi ({\frac {k_{1}}{n_{1}}}+\dots + {\frac {k_{s}}{n_{s}}})},0\leq k_{i}<n_{i}

Dette giver os mulighed for at udføre en eksplicit isomorfi mellem gruppen selv og gruppen af dens karakterer, lig med den i antallet af elementer. $G$

{g_{1}}^{k_{1}}\circ \dots \circ {g_{s}}^{k_{s}}\mapsto \chi _{k_{1},\dots ,k_ {s}}

Karakteregenskaber for endelige grupper

For vi betegner med tegnet, der svarer til elementet i henhold til skemaet beskrevet ovenfor. $g\in G$ $\chi _{g}:G\to U(1)$ $g$

Følgende identiteter har [6] :

\sum \limits _{g\in G}{\chi (g)}=\venstre\lbrace {\begin{matrix}0,&\chi \not =\chi _{0}\\|G |,&\chi =\chi _{0}\end{matrix}}\right.

\sum \limits _{x\in G}{\chi _{g}(x)}=\venstre\lbrace {\begin{matrix}0,&x\not =0\\|G|,&x =0\end{matrix}}\right.

Variationer og generaliseringer

Hvis er en associativ algebra over feltet , så er karakteren en ikke-nul homomorfi af algebraen til . Hvis derudover er en stjernealgebra , $EN$ $k$ $EN$ $EN$ $k$ $EN$ [ afklare ] så er karakteren en stjernehomomorfi til komplekse tal.

Se også

Pontryagin dualitet

Noter

↑ A. O. Gelfond, Yu. V. Linnik , Elementære metoder i analytisk talteori, M: Fizmatgiz, 1962, s. 61-66, 78-97
↑ K. Chandrasekharan , Introduktion til analytisk talteori, M: Mir, 1974, s. 142-165
↑ G. Davenport , Multiplikativ talteori, M: Nauka, 1971, s. 44-64
↑ A. Karatsuba , Fundamentals of analytic number theory, M: Nauka, 1983, s. 114-157
↑ K. Chandrasekharan , Introduktion til analytisk talteori, M: Mir, 1974, s. 145-147
↑ K. Chandrasekharan , Introduktion til analytisk talteori, M: Mir, 1974, s. 147-159

Litteratur

Kirillov A. A. Elementer i repræsentationsteori. - 2. - M. : Nauka, 1978. - 343 s.
Naimark M. A. Repræsentationsteori for grupper. - M. , 1978. - 560 s.

Karakterer i talteori og i gruppeteori
Kvadratiske tegn	Symbol for Legendre Jacobi symbol Kronecker symbol - Jacobi
Karakterer af kraftrester	Arten af den kubiske rest Naturen af den biquadratiske rest Symbol for strømrester

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation