Geodætisk

Geodætisk (også geodætisk linje ) - en kurve af en bestemt type, en generalisering af begrebet " lige linje " for buede rum.

Den specifikke definition af en geodætisk linje afhænger af typen af rum. For eksempel, på en todimensionel overflade, der er indlejret i det euklidiske tredimensionelle rum , er geodætiske linjer linjer, hvis tilstrækkeligt små buer er de korteste veje mellem deres ender på denne overflade. På et plan vil disse være rette linjer, på en cirkulær cylinder - spiralformede linjer , retlinede generatorer og cirkler , på en sfære -buer af storcirkler .

Geodætiske linjer bruges aktivt i relativistisk fysik . Så et testlegeme i den generelle relativitetsteori bevæger sig langs den geodætiske linje af rum-tid . I det væsentlige kan den tidsmæssige udvikling af alle lagrangiske systemer betragtes som bevægelse langs en geodæt i et særligt rum. Hele teorien om målefelter kan repræsenteres på denne måde .

Differentialgeometri

Manifolder med en affin forbindelse

I manifolder med en affin forbindelse er en geodætisk en kurve , der opfylder ligningen $\nabla$ $\gamma (t)$

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0.

I koordinatform kan denne ligning omskrives ved hjælp af Christoffel-symboler :

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{ \mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,

hvor er kurvens koordinater. $x^{\mu}(t)$

Med andre ord er en kurve en geodætisk, hvis en paralleloverført vektor langs den, som var tangent til kurven ved startpunktet, forbliver tangent overalt.

Riemannske og pseudo-riemannske manifolder

I riemannske og pseudo-riemannske rum er det geodætiske defineret som den kritiske kurve for energiintegralet:

E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g{\big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\big )}\,dt,

her er en kurve i rummet, er den metriske . (I fysik kaldes dette integral almindeligvis handlingsintegralet .) $\gamma (t)$ $g$

Denne betingelse svarer til:

\nabla _{{{\dot \gamma }}}{\dot \gamma }=0

langs hele kurven, hvor betegner Levi-Civita forbindelsen . $\nabla$

Metrisk geometri

I metriske rum er en geodætisk defineret som en lokalt korteste vej med en ensartet parametrisering (ofte med en naturlig parameter ).

Ifølge Gauss-lemmaet definerer denne definition for Riemann-manifolder den samme klasse af kurver som den differentielle geometriske definition ovenfor.

Brug i fysik

Geodætiske linjer bruges aktivt i relativistisk fysik. For eksempel er banen for et frit faldende uladet testlegeme i den generelle relativitetsteori og generelt i de metriske teorier om tyngdekraft en geodætisk linje af den største egentlige tid , det vil sige tiden målt af ure, der bevæger sig med kroppen.

Ofte kan en fysisk teori, der har en handling eller er udtrykt i Hamiltonsk form, omformuleres som problemet med at finde geodetik på en eller anden riemannsk eller pseudo-riemannmanifold .

Se også

Litteratur

Grave D. A. Geodetic line // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri. - Enhver udgave.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. . Kursus i differentialgeometri og topologi. - Enhver udgave.
Postnikov M. M. . Variationsteori for geodætik. - Enhver udgave.
A.V. Chernavsky . Differentialgeometri, 2 kurser .