Rigtigt projektivt plan

Fundamental polygon det projektive plan.	En Möbius-strimmel med en enkelt kant kan lukkes ind i projektivplanet ved at lime modstående kanter sammen.	Til sammenligning er en Klein-flaske en Möbius-strimmel lukket ind i en cylinder.

Det rigtige projektive plan er et eksempel på en kompakt uorienteret 2 -manifold , med andre ord en ensidet overflade . Det projektive plan kan ikke indlejres i almindeligt tredimensionelt rum uden selvskæring. Det vigtigste anvendelsesområde for dette plan er geometri , da hovedkonstruktionen af det virkelige projektive plan er rummet af linjer i R 3 , der passerer gennem oprindelsen.

Planet beskrives ofte topologisk konstruktionsmæssigt ud fra Möbius-strimlen - limer man Möbius-strimlens (enkelt)kant til sig selv i den rigtige retning, får man et projektivt plan (det kan ikke lade sig gøre i tredimensionelt rum ). Tilsvarende giver limning af en cirkel langs grænsen af en Möbius-strimmel et projektivt plan. Topologisk har overfladen Euler-karakteristik 1, fordi semi -slægten (ikke-orienterbar eller Euler-slægten) er 1.

Da Möbius-strimlen til gengæld kan konstrueres ud fra en firkant ved at lime to af dens sider sammen, kan det reelle projektive plan repræsenteres som et enhedskvadrat (det vil sige [0,1] × [0,1]), hvor siderne er identificeret ved følgende relationsækvivalens :

(0,y)\sim (1,1-y),0\leqslant y\leqslant 1

(x,0)\sim (1-x,1),0\leqslant x\leqslant 1

som på venstre billede ovenfor.

Eksempler

Projektiv geometri handler ikke nødvendigvis om krumning, og det virkelige projektive plan kan snoes og placeres i det euklidiske plan eller tredimensionelle rum på mange måder [1] . Nogle vigtige eksempler på fly-nesting er beskrevet nedenfor.

Det projektive plan kan ikke indlejres (uden skæringspunkter) i det tredimensionelle euklidiske rum . Beviset for dette går nogenlunde sådan her: Antag, at planet er indlejret, så afgrænser det projektive plan et kompakt område af tredimensionelt euklidisk rum ifølge den generaliserede Jordan-sætning . Det udadrettede enhedsvektorfelt definerer derefter orienteringen af grænsen for manifolden, men grænsen for manifolden er det projektive plan , som ikke kan orienteres. Vi har en modsigelse.

Projektiv sfære

Overvej en kugle , lad kuglens store cirkler være "lige linjer" og parrene af antipodale punkter være "punkter". Det er let at verificere, at systemet adlyder det projektive plans aksiomer :

ethvert par af distinkte storcirkler skærer hinanden ved et par antipodale punkter
to forskellige par af antipodale punkter ligger på en enkelt storcirkel

Hvis vi identificerer et punkt på kuglen med dets antipodale punkt, får vi en repræsentation af det reelle projektive plan, hvor "punkterne" af det projektive plan er reelle punkter. Det betyder, at den projektive plan er kuglens kvotientrum, som fås ved at dividere kuglen i ækvivalensklasser ved forholdet , hvor hvis y = −x. Dette kvotientrum er homøomorft i forhold til mængden af alle linjer, der går gennem oprindelsen i R 3 . $\sim$ $x\sim y$

Faktoren kortlægning fra kuglen til det virkelige projektive plan er i virkeligheden en to-ark (det vil sige to-til-en) dækning . Det følger heraf, at grundgruppen i det reelle projektive plan er en cyklisk gruppe af orden 2. Man kan tage cyklus AB i figuren ovenfor som en generator.

Projektiv halvkugle

Da kuglen dækker det reelle projektive plan to gange, kan det projektive plan repræsenteres som en lukket halvkugle, hvor de modsatte punkter af randen er identificeret [2] .

Battle Surface - Immersion

Det projektive plan kan nedsænkes (lokale kvarterer i definitionsdomænet har ikke selvskæringspunkter) i tredimensionelt rum. Bois overflade er et eksempel på en sådan nedsænkning.

Polyedriske eksempler skal have mindst ni flader [3] .

Romersk overflade

Steiner- romersk overflade er en degenereret kortlægning af det projektive plan til et tredimensionelt rum, der indeholder Möbius-striben .

Polyeder - repræsentationen er tetrahemihexahedron [4] , som har samme generelle form som Steiner-overfladen.

Semipolyeder

I den anden retning kan nogle abstrakte regulære polyedre , semicube , semidodecahedron og semiicosahedron , konstrueres som figurer i det projektive plan . Se artiklen " Projective polyhedron ".

Plane projektioner

Forskellige plane projektioner eller projektioner af det projektive plan er blevet beskrevet. I 1874 beskrev Klein kortlægningen [1] $k(x,y)={\sqrt {1+x^{2}+y^{2}}}.(x,y)$

Den centrale projektion af en projektiv halvkugle på et plan giver det sædvanlige uendelige projektive plan, beskrevet nedenfor.

Möbius-strimmel

Hvis vi limer cirklen med Möbius-strimlen , får vi en lukket overflade. Denne overflade kan repræsenteres parametrisk ved følgende ligninger:

X(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\cos u,

Y(u,v)=r\,(1+\cos v)\,\sin u,

Z(u,v)=-\mathrm {th} \,\left(u-\pi \right)\,r\,\sin v,

hvor u og v løber fra 0 til 2 π . Disse ligninger ligner dem for en torus . Figur 1 viser en lukket skive med en Möbius-strimmel.

Figur 1. To billeder af en skive med en Möbius-strimmel.

Skiven med Möbius-strimlen har et symmetriplan , som passerer gennem et segment med skæringspunkter (i figuren vil planet være vandret). I figur 1 er Möbius-strimmelskiven vist oppefra i forhold til symmetriplanet z = 0, men den vil se nøjagtigt ens ud, når den ses nedefra.

En skive med en Möbius-strimmel kan skæres langs symmetriplanet med den betingelse, at der ikke skæres et dobbeltpunkt. Resultatet er vist i figur 2.

Figur 2. To billeder af en dissekeret skive med en Möbius-strimmel.

Under denne betingelse kan det ses, at en dissekeret disk med en Möbius-strimmel er homøomorf til en selvskærende disk, som vist i figur 3.

Figur 3. To forskellige billeder af en selvskærende disk.

En selvskærende disk er homøomorf til en almindelig disk. Parametriske ligninger for en selvskærende disk:

X(u,v)=r\,v\,\cos 2u,

Y(u,v)=r\,v\,\sin 2u,

Z(u,v)=r\,v\,\cos u,

hvor u løber fra 0 til 2 π og v løber fra 0 til 1.

Projektionen af en selvskærende skive på et symmetriplan ( z = 0 under ovenstående parametrisering), som kun passerer gennem dobbeltpunkter, er en regulær skive, der gentager sig selv (folder ind på sig selv).

Planet z = 0 skærer den selvskærende skive til et par skiver, der er spejlbilleder af hinanden. Diskene er centreret ved oprindelsen .

Overvej nu skivefælge (med v = 1). Punkter på kanten af en selvskærende skive kommer i par som refleksioner af hinanden omkring z = 0-planet.

Skiven med Möbius-strimlen dannes ved at identificere disse punkter. Det betyder, at et punkt med parametre ( u ,1) og koordinater identificeres med et punkt ( u + π,1), hvis koordinater er . Men det betyder, at par af modsatte punkter på kanten af en (ækvivalent) almindelig disk identificeres. Der dannes således et reelt projektivt plan af skiven, så overfladen vist i figur 1 (skiven med Möbius-strimlen) er topologisk ækvivalent med det reelle projektive plan RP 2 . $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,r\,\cos u)$ $(r\,\cos 2u,r\,\sin 2u,-r\,\cos u)$

Homogene koordinater

Planets punkter kan repræsenteres ved homogene koordinater . Punktet har homogene koordinater , mens koordinaterne og svarer til det samme punkt for alle ikke-nul værdier af t . Punkter med koordinater repræsenterer det sædvanlige reelle plan , som kaldes den endelige del af det projektive plan, og punkter med koordinater kaldes punkter ved uendelig eller idealpunkter , som danner en linje, som kaldes linjen ved uendelig . Homogene koordinater repræsenterer ikke noget punkt. $[x:y:z]$ $[x:y:z]$ $[tx:ty:tz]$ $[x:y:1]$ $[x:y:0]$ $[0:0:0]$

Linjer i planet kan repræsenteres ved homogene koordinater. Den projektive linje svarende til planet i R 3 har homogene koordinater . Disse koordinater har således en ækvivalensrelation for alle ikke-nul værdier af d . Dette er en konsekvens af, at ligningen for den samme linje giver de samme homogene koordinater. Et punkt ligger på en linje, hvis . Linjer med koordinater , hvor a og b ikke er lig med 0, svarer således til linjer i den almindelige reelle plan , da de indeholder punkter, der ikke ligger i uendelig. Linjen med koordinater er en uendelig linje, da kun punkter ligger på den, for hvilke . $ax+by+cz=0$ $(a:b:c)$ $(a:b:c)=(da:db:dc)$ $dax+dby+dcz=0$ $[x:y:z]$ $(a:b:c)$ $ax+by+cz=0$ $(a:b:c)$ $(0:0:1)$ $z=0$

Punkter, linjer og planer

En ret linje i planen P 2 kan repræsenteres af ligningen . Hvis vi betragter a , b og c som kolonnevektoren g , og x , y , z som kolonnevektoren x , så kan ovenstående ligning skrives som: $ax+by+cz=0$

\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0

eller .

\mathbf {g} ^{T}\mathbf {x} =0

Ved hjælp af vektornotation kan vi i stedet skrive

\mathbf {x} \ldots \mathbf {g} =0

eller .

\mathbf {g} \ldots \mathbf {x} =0

Ligningen (hvor k er en ikke-nul skalar) fejer et plan ud, der passerer gennem origo ved R 3 , og k ( x ) fejer en linje ud gennem origo igen. Planen og linjen er lineære underrum i R 3 , der altid går gennem origo. $k(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} )=0$

Ideelle punkter

I P 2 er ligningen for en linje , og denne ligning kan repræsentere en hvilken som helst linje på et hvilket som helst plan parallelt med x , y-planen, når ligningen ganges med k . $ax+by+c=0$

Hvis z = 1, har vi normaliserede homogene koordinater. Alle punkter, for hvilke z = 1, skaber et plan. Lad os forestille os, at vi ser på dette plan (fra et punkt længere langs z -aksen og ser mod origo), og der er to parallelle linjer på planet. Fra synspunktet kan vi kun se en del af planet (på grund af synets egenskaber), som er fremhævet med rødt i figuren. Hvis vi bevæger os væk fra planet langs z -aksen (mens vi fortsætter med at se mod oprindelsen), kan vi se det meste af planet. Udgangspunkterne for vores synspunktsfragment bevæger sig. Vi kan afspejle denne bevægelse ved at dividere homogene koordinater med en konstant. På figuren har vi divideret med 2, så z -værdien nu er 0,5. Bevæger vi os langt nok væk, bliver det pågældende område til en prik. Når vi bevæger os væk, ser vi linjerne mere og bredere, mens de parallelle linjer skærer hinanden på linjen i det uendelige (linjen, der går gennem origo på planet z \u003d 0). Linjerne på planet z = 0 er ideelle punkter. Planet z = 0 er en ret linje i det uendelige.

Et punkt med ensartede koordinater (0, 0, 0) er det punkt, hvor alle reelle punkter konvergerer, når man ser på planet fra det uendelige, og linjen på planet z = 0) er linjen, hvor alle parallelle linjer skærer hinanden.

Dualitet

Der er to kolonnevektorer i ligningen . Du kan ændre en anden, mens du holder en kolonne konstant. Hvis vi holder punktet x konstant og ændrer koefficienterne g , skaber vi nye linjer, der går gennem punktet. Hvis vi holder koefficienterne konstante og ændrer de punkter, der opfylder ligningen, skaber vi en ret linje. Vi behandler x som et punkt, fordi de akser, vi bruger, er x , y og z . Hvis vi i stedet bruger a , b , c akserne som koefficienter , bliver punkterne til rette linjer og de rette linjer til punkter. Hvis vi beviser nogle fakta for den grafiske repræsentation af data på x , y og z akserne , kan den samme begrundelse bruges for a , b og c akserne . Dette kaldes dualitet. $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$

Linjer, der forbinder punkter og skæringspunkter mellem linjer (ved hjælp af dualitet)

Ligningen beregner prikproduktet af to kolonnevektorer. Punktproduktet af to vektorer er nul, hvis vektorerne er ortogonale . I P 2 -planet kan linjen mellem punkterne x 1 og x 2 repræsenteres som en søjlevektor g , der opfylder ligningerne og , eller med andre ord, en søjlevektor g , der er ortogonal på vektorerne x 1 og x 2 . Krydsproduktet finder en sådan vektor - en ret linje, der forbinder to punkter, har homogene koordinater givet af ligningen - . Skæringspunktet mellem to linjer kan findes på samme måde, ved at bruge dualitet, som krydsproduktet af vektorerne, der repræsenterer linjerne . $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{1}^{T}\mathbf {g} =0$ $\mathbf {x} _{2}^{T}\mathbf {g} =0$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{1}\times \mathbf {g} _{2))$

Indlejring i 4-dimensionelt rum

Det projektive plan er indlejret i det 4-dimensionelle euklidiske rum. Det reelle projektive plan P 2 ( R ) er kvotientrummet for 2-sfæren

S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}3:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \}

i antipodal forhold . Betragt en funktion givet som . Denne kortlægning er begrænset til en kortlægning, hvis domæne er S 2 , og da hvert led er et homogent polynomium af lige grad, tager det de samme værdier i R 4 ved hvert af de to antipodale punkter i kuglen S 2 . Dette giver displayet . Desuden er denne kortlægning en vedhæftet fil. Bemærk, at denne indlejring tillader projektion ind i R3 som en romersk. $(x,y,z)\sim (-x,-y,-z)$ $\mathbf {R} ^{3}\rightarrow \mathbf {R} ^{4}$ $(x,y,z)\mapsto (xy,xz,y^{2}-z^{2},2yz)$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(\mathbf {R} )\rightarrow \mathbf {R} ^{4))$

Ikke-orienterbare overflader af højere semigenus

Ved at lime de projektive planer efter hinanden opnår vi ikke-orienterbare overflader af en højere semigenus . Limningsprocessen består i at skære en lille skive fra hver overflade og identificere ( lime ) grænserne. Limning af to projektive planer giver en Klein flaske .

Artiklen om den grundlæggende polygon beskriver ikke-orienterbare overflader af en højere semigenus.

Se også

Rigtigt projektivt rum
projektivt rum
Glat projektivt rum

Noter

↑ 1 2 Apéry, 1987 .
↑ Uger, 2002 , s. 59.
↑ Brehm, 1990 , s. 51-56.
↑ Richter .

Litteratur

Apery F. Modeller af det rigtige projektive plan. - Vieweg, 1987. - ISBN 9783528089559 .
Coxeter HSM The Real Projective Plane. — 2. udg. — Cambridge: På University Press, 1955.
Reinhold Bær. Lineær algebra og projektiv geometri. - Dover, 2005. - ISBN 0-486-44565-8 .
David A. Richter. To modeller af det virkelige projektive plan .
Uger J. Rummets form. - Marcel Dekker, Ine, 2002. - (MONOGRAFIER OG LÆREBØGER I ren og anvendt matematik). — ISBN 0-8247-0709-5 .
Brehm U. Hvordan man bygger minimale polyedriske modeller af drengens overflade // Den matematiske intelligenser. - 1990. - T. 12 , no. 4 .

Links

Weisstein, Eric W. Real Projective Plane (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Linjefeltfarvning ved hjælp af Werner Boys rigtige projektive plannedsænkning
Det rigtige projektive fly på YouTube

Kompakte overflader og deres fordybelse i tredimensionelt rum

Homøoformitetsklassen for en kompakt trianguleret overflade bestemmes af orienterbarhed, antallet af grænsekomponenter og Euler-karakteristikken.

ingen grænse

Orienterbar	Kugle (slægt 0) Thor (slægt 1) "Otte" (slægt 2) " Kringle " (slægt 3) ...
Ikke-orienterbar	Rigtigt projektivt plan slægt 1; Kampoverflade romersk overflade Klein flaske (slægt 2) Pik overflade (slægt 3) ...

med kant

Disk
- halvkugle
Bånd
- Ring
- Cylinder
Mobius-striben
- Möbius strimmel
Kugle med tre huller...

Beslægtede
begreber

Ejendomme	Forbindelse kompakthed Triangulering eller glathed Orienterbarhed
Egenskaber	Antal grænsekomponenter Slægt Euler karakteristik
Operationer	Forbundet sum hulskæring Klæber håndtaget Montering af Möbius-strimlen Nedsænkning