Stjerne (geometri)

En stjerne  er en type flade ikke- konvekse polygoner , der ikke har en entydig matematisk definition.

Stjernepolygon

En stjernepolygon  er en polygon , hvor alle sider og vinkler er lige store, og hjørnerne falder sammen med hjørnerne af en regulær polygon . Siderne af en stjernepolygon kan skære hinanden. Der er mange stjerneformede polygoner eller stjerner , blandt dem et pentagram , et hexagram , to heptagrammer , et oktogram , et dekagram , et dodekagram .

Stjernepolygoner kan opnås ved samtidig at forlænge alle siderne af en regulær polygon, efter at de skærer hinanden ved dens hjørner, indtil deres næste skæringspunkt i de punkter, der er stjernepolygonens hjørner. Den resulterende stjernepolygon vil være stjerneformen af ​​den regulære polygon, hvorfra den er afledt. Stjernepolygonens hjørner vil kun blive betragtet som de punkter, hvor siderne af denne polygon konvergerer, men ikke disse siders skæringspunkter; stjerneformen af ​​en given polygon har lige så mange hjørner som sig selv. Denne operation kan ikke udføres med en regulær trekant og en firkant, da deres sider efter forlængelse ikke længere skærer hinanden; blandt almindelige polygoner er det kun polygoner med mere end fire sider, der har stjerneformer. Stjerneformen af ​​en regulær femkant (femkant) er et pentagram .

På en anden måde for at få stjerneformen af ​​en regulær n - gon , er hver af dens hjørner forbundet med m -te fra den på en cirkel i urets retning. En stjerne opnået på denne måde betegnes som {n/m} . I dette tilfælde betragtes sidernes skæringspunkter med hinanden ikke som hjørner. Sådan en stjerne har n hjørner og n sider, ligesom en almindelig n - gon.

Forholdet mellem radierne af 2 cirkler af en regulær stjerne med ovenstående konstruktionsmulighed: ekstern (på hvilken hjørnerne af vinklerne på stjernens stråler ligger) og intern (på hvilken skæringspunkterne for siderne af tilstødende stråler lie) beregnes ved formlen:

Stjerner kan forbindes (ikke-disintegrerende enkelte polygoner), der ikke er sammensætninger af andre regulære eller stjerneformede polygoner (som i tilfældet med et pentagram), eller de kan afbrydes og opdeles i flere identiske regulære polygoner eller forbundne stjerner ( et eksempel på dette er stjerneformen af ​​en sekskant - et heksagram , som er en sammensætning af to trekanter).

En regulær polygon kan have flere stjerneformer, hvis antal afhænger af, hvor mange gange dens sider skærer hinanden, efter at de er forlænget, et eksempel på dette er en sekskant, der har 2 stjerneformer (to typer af en syvtakket stjerne) .

Antal hjørner af en regulær polygon Antal stjerneformer af en regulær polygon Antal ikke-disintegrerende (forbundne) stjernepolygoner blandt stjerneformer Antallet af regulære polygonhjørner placeret mellem to stjernepolygonhjørner
5 en en en
6 en 0
7 2 2 2; 3
otte 2 en 2
9 3 2 en; 3
ti 3 en 2
elleve fire fire en; 2; 3; fire
12 fire en fire

Vertex-transitiv polygon

Se også

Links