Ental homologi

Singular homologi er en homologiteori , hvor invarians og funktionalitet straks bliver indlysende, men den grundlæggende definition kræver arbejde med uendelig-dimensionelle rum.

Konstruktion

Lad være ethvert topologisk rum . $x$

En enkeltdimension simplex er et par , hvor er standard simplex , og er dets kontinuerlige kort til ; . $k$ $(\Delta ^{k},f)$ $\Delta ^{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $f$ $x$ $f:\Delta ^{k}\til X$

Vi definerer gruppen af enkeltstående kæder som et sæt af formelle lineære kombinationer:

c_{k}=\sum _{i}z_{i}(\Delta ^{k},f_{i})

med heltal (normalt betragtes de også som begrænsede) koefficienter .

z_{i}

I dette tilfælde, for en lineær afbildning defineret af en permutation af punkter , antager man . ${\displaystyle s_{\pi }:\Delta ^{k}\to \Delta ^{k))$ $\pi$ $(a_{0},a_{1},...~a_{k})$ $(\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi})$

Grænseoperatoren er defineret på singularis simplex som følger: $\delvis$ $(\Delta _{k},f)$

\partial (\Delta _{k},f)=\sum _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})

hvor er den standard - dimensionelle simplex, og hvor er dens afbildning på den th side af standard simpleksen . $\Delta _{k-1}$ $(k-1)$ $f_{i}=f\circ\epsilon _{i}$ $\epsilon _{i}$ $jeg$ $\Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i))},...~a_{k}\rangle )$

På samme måde som for simpel homologi beviser vi, at . $\partial \partial =0$

Som før introduceres begreberne singular cykler , dvs. kæder sådan, at , og grænser , dvs. kæder for nogle . $c_{k}$ $\partial {c_{k}}=0$ $c_{k}=\partial {c_{k+1}}$ $c_{k+1}$

Faktorgruppen i cyklusgruppen over grænsegruppen kaldes entalshomologigruppen . $H_{k}=Z_{k}/B_{k}$

Eksempel

Lad os finde, for eksempel, ental homologi af rummet fra et punkt . $X=*$

Der er kun én kortlægning for hver dimension . $f^{k}:\Delta ^{k}\to *$

Grænsen for simplekset , hvor alle er lige, da de kortlægger simplekset til ét punkt (vi betegner ). $\partial _{k}(\Delta ^{k},f^{k})=\sum (-1)^{i}(\Delta ^{k-1},f_{i}^{k-1 })$ $f_{i}^{k-1}$ $f^{k-1}$