Steenrod-Eilenberg aksiomer

Steenrod-Eilenberg aksiomer er et sæt af grundlæggende egenskaber ved homologiteorier identificeret af Eilenberg og Steenrod .

Denne tilgang gør det muligt at bevise resultater, såsom Mayer-Vietoris-sekvensen , for alle homologiteorier på én gang.

Aksiomer

Lade være en sekvens af functors fra kategorien af par af topologiske rum til kategorien af kommutative grupper , udstyret med en naturlig transformation kaldet grænsen . (Her er en forkortelse for .) $H_n$ $(X,A)$ $\partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A,\emptyset )$

Homotopi-ækvivalens inducerer den samme homologi. Det vil sige, hvis er homotopisk , så er deres inducerede kortlægninger de samme. $g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$ $h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$
Antag , at der er et par og er en delmængde af , sådan at dens lukning er indeholdt i det indre af . Så inducerer inklusion en isomorfi i homologi. $(X,A)$ $U$ $x$ $EN$ $i\colon (XU,AU)\to (X,A)$
Lad der være et topologisk rum med ét punkt, så for alle . $P$ $H_{n}(P)=0$ $n \neq 0$
Hvis , er en usammenhængende forening af en familie af topologiske rum , så . $X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}$ $X_{\alpha }$ $H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha })$
Hvert par inducerer en lang nøjagtig sekvens af inklusionshomologier og : $(X,A)$ $i\colon A\to X$ $j\colon X\to (X,A)$ $\cdots \longrightarrow H_{n}(A)\,{\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X)\,{\stackrel {j_{*}} {\longrightarrow }}\,H_{n}(X,A)\,{\stackrel {\partial }{\longrightarrow }}\,H_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots .$

Litteratur

C. Kosniewski elementært kursus i algebraisk topologi