Alexandrov-Cech kohomologi

Alexandrov-Cech kohomologi er en kohomologiteori baseret på egenskaberne ved åbne dækninger af et topologisk rum . En sådan kohomologi viser sig at være praktisk i studiet af patologiske rum.

Ideen med konstruktionen er, at hvis dækslet af et rum er sammensat af tilstrækkeligt små sæt, så er kohomologien af dækslets nerve en god tilnærmelse af selve rummets kohomologi.

Opkaldt efter Aleksandrov og Cech . Normalt markeret med . ${\check {H}}^{*}$

Konstruktion

Lad være et topologisk rum og være en åben afdækning af . Betegnes med den dækkende nerve . $x$ ${\mathcal {V))$ $x$ $N_{\mathcal {V))$ ${\mathcal {V))$

Antag, at omslaget er indskrevet i omslaget , det vil sige, at ethvert sæt fra er indeholdt i et sæt fra . Lad os vælge en kortlægning, der knytter sig til hvert sæt fra det sæt, der indeholder det fra . Denne kortlægning inducerer nervekortlægning . Den inducerede homomorfi af kohomologiringe afhænger ikke af valget af . (Da vi arbejder med simple komplekser, er det lige meget, hvilken af kohomologiteorierne vi vælger.) ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ $f\colon N_{\mathcal {W}}\to N_{\mathcal {V}}$ $f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)\to H^{*}(N_{\mathcal {W)),G)$ $f$

Kohomologi ringe med homomorfismer danner et omvendt system. Dette gør det muligt at gå til den omvendte grænse $H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)$ $f^{*}$

{\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).

Den resulterende ring kaldes Cech-kohomologien af rummet med koefficienter i . ${\check {H}}^{*}(X,G)$ $x$ $G$

Forholdet til andre kohomologiteorier

For patologiske rum kan Cech-kohomologien afvige fra singularkohomologien.
- For eksempel, hvis X er en polsk cirkel , så , mens ${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$ $H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$
Hvis X er homotopi, der svarer til et CW-kompleks , så er Cech-kohomologien naturligt isomorf i forhold til singular-kohomologien . ${\check {H}}^{*}(X;A)$ $H^{*}(X;A)$
Hvis X er en glat manifold , så er Cech-kohomologien naturligt isomorf i forhold til de Rham-kohomologien . ${\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$

Alexandrov-Cech kohomologi

Konstruktion

Forholdet til andre kohomologiteorier

Links