Bestilt gruppe

En ordnet gruppe er en gruppe , for alle elementer, hvoraf der er defineret en lineær rækkefølge , i overensstemmelse med gruppeoperationen. Yderligere er operationen betegnet som addition, gruppens nul er angivet med symbolet . Generelt er en gruppe muligvis ikke kommutativ . $0$

Definition

Lad være en gruppe og en lineær rækkefølge er defineret for dens elementer , det vil sige en relation ( mindre end eller lig med ) er givet med følgende egenskaber: $G$ $\leqslant$

Refleksivitet :. _ $x \leqslant x$
Transitivitet : hvis og , så . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisymmetri : hvis og , så . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linearitet : alle elementer i gruppen er sammenlignelige med hinanden, det vil sige for enhver enten , eller . $x,y$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Derudover kræver vi, at ordren er i overensstemmelse med koncerndriften:

Hvis , så er følgende relationer sande for enhver z : $x \leqslant y$

x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.

Hvis alle fem aksiomer holder, så siges gruppen at være ordnet (eller lineært ordnet ). Hvis vi fjerner kravet om linearitet (aksiom 4), så kaldes gruppen delvist ordnet . $G$

En ordnet gruppe er en topologisk gruppe med intervaltypetopologi [1] .

Relaterede definitioner

For at lette notationen introduceres yderligere sekundære relationer:

Et forhold større end eller lig med : betyder at .

x\geqslant y

y\leqslant x

Forholdet større end : betyder at og .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Et forhold mindre end : betyder at .

x<y

y>x

En formel med nogen af disse fire sammenhænge kaldes en ulighed .

Vi kalder en isomorfi af ordnede grupper for en y-isomorfi , hvis den bevarer orden.

En undergruppe af en ordnet gruppe kaldes konveks , hvis alle elementer mellem elementerne hører til Formel notation: hvis og derefter En undergruppe på et nul er åbenlyst konveks og kaldes triviel . $H$ $G$ $g\in G$ $H,$ $H.$ $h_{1},h_{2}\in H$ $h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},$ $g\in H.$

Egenskaber

Uligheder med samme typer relationer kan tilføjes [2] , for eksempel:

Hvis og så

a<b

c<d,

a+c<b+d

En ikke- triviel finit gruppe kan ikke bestilles [3] . Med andre ord er en ikke-triviel ordnet gruppe altid uendelig.

Archimedes

En ordre i en gruppe kaldes Archimedean hvis for nogen , og der er sådan en naturlig , at: $a>0$ $b>0$ $n,$

\underbrace {a+a+\ldots +a}_{{n}}>b

Hölders sætning . Hver ordnet arkimedisk gruppe er y-isomorf til en undergruppe af den additive gruppe af reelle tal (med den sædvanlige rækkefølge); især er sådan en gruppe altid kommutativ [4] .

Følge 1: enhver y-automorfi af to undergrupper af den additive gruppe af reelle tal reduceres til dilatation, det vil sige til multiplikation med en fast koefficient [4] .

Konsekvens 2: gruppen af y-automorfismer i den arkimedeiske gruppe er isomorf til en undergruppe af den multiplikative gruppe af positive reelle [4] .

Et andet kriterium for at være arkimedisk: en ordnet gruppe er arkimedisk, hvis og kun hvis den ikke indeholder ikke-trivielle konvekse undergrupper [1] .

Positive og negative elementer

Elementer større end nul i gruppen kaldes positive og mindre end nul- negative . Tilføjelse af nul til disse to sæt resulterer i et sæt af henholdsvis ikke-negative og ikke-positive elementer. Hvis så, tilføjer vi, at det betyder, at de elementer, der er inverse til ikke-negative, er ikke-positive og omvendt. Således tilhører hvert element i en ordnet gruppe én og kun én af de tre kategorier: positiv, negativ, nul. $x\geqslant 0,$ $-x,$ $-x\leqslant 0.$

Betegn sættet af ikke-negative elementer. Så det vil sige, at sættet af elementer modsat elementer indeholder alle ikke-positive elementer. Vi lister egenskaberne for disse sæt [5] [1] . $P$ $-P,$ $P,$

(P1) er lukket under tilsætning.

P

(P2) har nøjagtig ét element til fælles, gruppens nul:

-P

P

P\cap (-P)=\{0\}.

(P3) for evt

(-g)+P+g\subset P

g\in G.

(P4)

P\cup (-P)=G.

Konstruktiv konstruktion af ordren

En måde at definere en lineær rækkefølge i en vilkårlig gruppe er at vælge en delmængde af ikke-negative tal P i den , der har egenskaberne anført ovenfor [P1–P4]. $G$

Lad dette fremhæves. Lad os definere en lineær rækkefølge på følgende måde [5] : $P$ $G$

x \leqslant y

, if (bemærk at egenskaben (P3) indebærer, at hvis da og selv om gruppen ikke er kommutativ).

yx\in P

yx\in P,

-x+y\in P,

Alle ovenstående ordensaksiomer er da opfyldt. Enhver ordnet gruppe kan konstrueres (ud fra en uordnet gruppe) ved hjælp af den beskrevne procedure [5] .

Absolut værdi

Lad os definere den absolutte værdi af gruppens elementer: Her vælger funktionen den største værdi. $|x|=max(x,-x).$ $max$

Absolut værdi egenskaber [6] :

$|x|=0$ hvis og kun hvis $x=0.$
For alle ikke-nul og kun for dem $x$ $|x|>0.$
De absolutte værdier af modsatte tal er de samme: $|x|=|-x|.$
Trekantulighed : $|x+y|\leqslant |x|+|y|.$
$|x|\leqslant y$ er ensbetydende med $-y\leqslant x\leqslant y.$

Eksempler

Den additive gruppe af heltal , rationaler eller reelle tal med den sædvanlige rækkefølge.
Den multiplikative gruppe af positive reelle tal med den sædvanlige rækkefølge.
Betragt en additiv gruppe af reelle polynomier.Vi definerer mængden af ikke-negative elementer i den som den mængde polynomier, hvor den første ikke-nul koefficient er positiv i den givne notation. Derefter definerer den genererede rækkefølge en ordnet kommutativ gruppe [7] . $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.$ $P$
I den additive gruppe af alle komplekse tal definerer vi sættet af ikke-negative elementer som følger: hvis enten eller Med andre ord, af to komplekse tal, er den med den største reelle del større, og i tilfælde af en tilfældighed , den med den større imaginære del. Så bliver den genererede rækkefølge til en ordnet kommutativ gruppe med en ikke-arkimedisk orden [8] . I den er summen af enhver størrelse for eksempel altid mindre end 1, så den imaginære enhed i denne rækkefølge fremstår som uendelig lille i forhold til enhed. Den beskrevne rækkefølge er i overensstemmelse med rækkefølgen af reelle tal og med tilføjelsen af komplekse tal, men er ikke i overensstemmelse med multiplikation: multipliceres med ulighed, får vi en fejlagtig ulighed . Det er bevist, at det er umuligt at forene begge operationer, det vil sige at gøre komplekse tal til et ordnet felt . $G$ $P$ $a+bi\in P,$ $a>0,$ $a=0;b\geqslant 0.$ $G$ $0<i<1,$ $jeg$ $jeg$ $i>0,$ $-1>0$

Noter

↑ 1 2 3 Encyclopedia of Mathematics, 1982 .
↑ Nechaev, 1975 , s. 85, Sætning 5.2.1.
↑ Nechaev, 1975 , s. 87, Sætning 5.2.6.
↑ 1 2 3 Kokorin, Kopytov, 1972 , s. 27-28.
↑ 1 2 3 Fuchs, 1965 , s. 25-26.
↑ Bourbaki, 1965 , s. 253-255.
↑ Kokorin, Kopytov, 1972 , s. 13.
↑ Fuchs, 1965 , s. 29.

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Polynomier og felter. Ordnede grupper. — M .: Nauka, 1965. — 300 s. .
Kokorin A. I. , Kopytov V. M. Lineært ordnede grupper. - M. : Nauka, 1972. - 343 s.
Lineært ordnet gruppe // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 322.
Nechaev V. I. Numeriske systemer. - M . : Uddannelse, 1975. - 199 s.
Fuchs L. Delvist ordnede algebraiske systemer. - M . : Mir, 1965. - 343 s.

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation