Stokastisk differentialligning

En stokastisk differentialligning (SDE) er en differentialligning , hvor et eller flere led er af stokastisk karakter, det vil sige, at de er en stokastisk (tilfældig) proces . Ligningens løsninger viser sig således også at være stokastiske processer. Det mest kendte og mest brugte eksempel på en SDE er en ligning med et udtryk for hvid støj (som kan opfattes som et eksempel på en afledt af en Wiener-proces ). Der er dog andre typer af tilfældige udsving, såsom en springproces .

Historie

I litteraturen er den første brug af SDE traditionelt forbundet med arbejdet med beskrivelsen af Brownsk bevægelse , udført uafhængigt af Marian Smoluchowski ( 1904 ) og Albert Einstein ( 1905 ). SDE'er blev dog brugt lidt tidligere ( 1900 ) af den franske matematiker Louis Bouchelier i hans doktorafhandling "Theory of Assumptions". Baseret på ideerne i dette arbejde begyndte den franske fysiker Paul Langevin at anvende SDE i sit arbejde med fysik. Senere udviklede han og den russiske fysiker Ruslan Stratonovich en mere stringent matematisk begrundelse for SDE.

Terminologi

I fysik er SDE'er traditionelt skrevet i form af Langevin-ligningen. Og ofte, men ikke helt præcist, omtalt som selve Langevin-ligningen , selvom SDE kan skrives på mange andre måder. SDE i form af Langevin-ligningen består af en almindelig ikke-stokastisk differentialligning og en ekstra del, der beskriver hvid støj . Den anden almindelige form er Fokker-Planck-ligningen , som er en partiel differentialligning, der beskriver udviklingen af en sandsynlighedstæthed over tid. Den tredje form af SDE er mere almindeligt brugt i matematik og finansiel matematik, den ligner Langevin-ligningerne, men er skrevet ved hjælp af stokastiske differentialer (se detaljer nedenfor).

Stokastisk beregning

Brownsk bevægelse (på matematiksproget, Wiener-processen) viste sig at være et meget komplekst matematisk objekt. Især en Wiener-proces er ikke-differentierbar, så at manipulere processer af denne type krævede oprettelsen af en egen kalkulus (teorien om stokastiske integraler ). To versioner af den stokastiske calculus er i øjeblikket i brug , Itô stokastiske calculus og Stratonovich stokastiske calculus . Normalt kan SDE'en i Ito-formen nemt omskrives til SDE'en i Stratonovich-formen og omvendt, men det er altid nødvendigt eksplicit at angive den form, som SDE'en er skrevet i.

Eksistens og unikhed af en løsning

Ligesom for almindelige differentialligninger er det vigtigt at vide, om SDE'en har en løsning, og i givet fald om denne løsning er unik. Vi præsenterer formuleringen af eksistens- og unikhedssætningen for Itô- ligningen . Et bevis findes i Øksendal (2003, § 5.2).

Lad løsningen tage værdier i det dimensionelle euklidiske rum , hvor der defineres en dimensionel tilfældig proces , der beskriver Brownsk bevægelse ; $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $B$

Lad , og lad $T>0$

\mu :{\mathbb {R}}^{{n}}\gange [0,T]\til {\mathbb {R}}^{{n}};

\sigma :{\mathbb {R}}^{{n}}\ gange [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n\ gange m}});

er målbare funktioner, for hvilke der er konstanter og sådan $C$ $D$

{\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t){\big |}{\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};

{\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t)-\sigma ( y,t){\big |}{\big |}\leq D|xy|;

for alle og enhver og hvor $t\i[0,T]$ $x$ $y\in {\mathbb {R}}^{n}$

|\sigma |^{{2}}=\sum _{{i,j=1}}^{{n}}|\sigma _{{ij}}|^{{2}}.

Lade være en tilfældig variabel uafhængig af -algebra genereret af processen , , og har et endeligt andet moment : $Z$ $\sigma$ $B_{s}$ $s\geq 0$

{\mathbb {E}}{\big [}|Z|^{{2}}{\big ]}<+\infty .

Derefter den stokastiske differentialligning for givne begyndelsesbetingelser

{\mathrm {d}}X_{{t}}=\mu (X_{{t}},t)\,{\mathrm {d}}t+\sigma (X_{{t}},t)\, {\mathrm {d}}B_{{t}}

til

t\in[0,T];

X_{{t}}=Z;

har en unik (i betydningen "næsten sandsynligvis") og -kontinuerlig løsning , sådan som er en tilpasset proces til filtrering genereret af og , , og $t$ $(t,\omega )\shortmid \!\to X_{t}(\omega )$ $x$ $F_{t}^{Z}$ $Z$ $B_{s}$ $s\leq t$

{\mathbb {E}}\venstre[\int \limits _{{0}}^{{T}}|X_{{t}}|^{{2}}\,{\mathrm {d}}t \right]<+\infty .

Anvendelse af stokastiske ligninger

Fysik

I fysik er SDE'er ofte skrevet i form af Langevin-ligningen. For eksempel kan et første-ordens SDE-system skrives som:

{\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^ {n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),

hvor er et sæt af ukendte, og er vilkårlige funktioner, og er tilfældige funktioner af tid, som ofte kaldes støjudtryk. Denne notation bruges, fordi der er en standardteknik til at konvertere en ligning med højere afledte til et system af førsteordens ligninger ved at introducere nye ukendte. Hvis der er konstanter, siges systemet at være udsat for additiv støj. Vi overvejer også systemer med multiplikativ støj, når . Af de to behandlede tilfælde er additiv støj den enkleste. Løsningen på et system med additiv støj kan ofte findes ved kun at bruge metoderne fra standardregning . Især kan den sædvanlige metode til at komponere ukendte funktioner anvendes. Men i tilfælde af multiplikativ støj er Langevin-ligningen dårligt defineret i betydningen almindelig matematisk analyse og skal fortolkes i forhold til Itô-regningen eller Stratonovich-regningen. ${\mathbf {x}}=\{x_{i}|1\leq i\leq k\}$ $f_{i}$ $g_i$ $\eta_{m}$ $g_i$ $g(x)\propto x$

I fysik er hovedmetoden til at løse SDE'er at finde en løsning i form af en sandsynlighedstæthed og transformere den oprindelige ligning til Fokker-Planck-ligningen. Fokker-Planck-ligningen er en partiel differentialligning uden stokastiske udtryk. Det bestemmer tidsudviklingen af sandsynlighedstætheden, ligesom Schrödinger-ligningen bestemmer tidsafhængigheden af et systems bølgefunktion i kvantemekanik, eller diffusionsligningen bestemmer tidsudviklingen af kemisk koncentration. Løsninger kan også søges numerisk, for eksempel ved hjælp af Monte Carlo-metoden . Andre teknikker til at finde løsninger bruger sti-integralet , denne teknik er baseret på analogien mellem statistisk fysik og kvantemekanik (for eksempel kan Fokker-Planck-ligningen transformeres til Schrödinger-ligningen ved hjælp af en transformation af variabler), eller løsningen af almindelige differentialligninger for sandsynlighedstæthedsmomenter .

Litteratur

Adomian, George. Stokastiske systemer . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Mathematics in Science and Engineering (169)).
Adomian, George. Ikke-lineære stokastiske operatorligninger . — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
Adomian, George. Ikke-lineær stokastisk systemteori og anvendelser til fysik . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1989. - (Mathematics and its Applications (46)).
Øksendal, Bernt K.Stokastiske differentialligninger: enintroduktion med applikationer . — Berlin: Springer, 2003.
Teugels, J. og Sund B. (red.). Encyclopedia of Actuarial Science (engelsk) . - Chichester: Wiley, 2004. - S. 523-527.
CW Gardiner . Håndbog i stokastiske metoder: for fysik, kemi og naturvidenskab . - Springer, 2004. - S. 415 .
Thomas Mikosch. Elementær stokastisk beregning: med økonomi i udsigt . - Singapore: World Scientific Publishing , 1998. - S. 212 .
Bachelier, L.,. Théorie de la speculation (på fransk), PhD-afhandling (engelsk) . - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0 , 1900.

Ordbøger og encyklopædier

Stor russer

I bibliografiske kataloger
BNF : 120480366 GND : 4057621-8 J9U : 987007536304005171 LCCN : sh85128177 NDL : 00575718 NKC : ph388475

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner