Firkantfrit nummer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. juni 2020; checks kræver 2 redigeringer .

I matematik er kvadratfri eller kvadratfri et tal , der ikke er deleligt med nogen kvadrat undtagen 1. For eksempel er 10 kvadratfri, men 18 er det ikke, da 18 er deleligt med 9 = 3 2 . Begyndelsen af sekvensen af kvadratfrie tal er:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... OEIS -sekvens A005117

Ringteori generaliserer begrebet kvadratiskhed som følger:

Et element r i en faktoriel ring R siges at være firkantfrit, hvis det ikke er deleligt med et ikke-trivielt kvadrat.

Kvadratfrie elementer kan også karakteriseres med hensyn til deres faktorisering: ethvert ikke-nul element r kan repræsenteres som et produkt af primelementer

{\displaystyle r=\varepsilon p_{1}p_{2}\cdots p_{n))

desuden er alle primfaktorer pi forskellige og er en eller anden identitet ( invertibelt element ) af ringen. $\varepsilon$

Tilsvarende karakteristik af kvadratfrie tal

Et positivt tal n er fri for kvadrater, hvis og kun hvis intet primtal optræder mere end én gang i faktoriseringen af dette tal til primtal . En anden måde at sige det på er: for enhver primtal divisor p af n , deler p ikke n / p . Eller et tal n er kvadratfrit, hvis og kun hvis, for enhver faktorisering af det n = ab , faktorerne a og b er coprime .

Et positivt tal n er kvadratfrit, hvis og kun hvis , hvor betegner Möbius-funktionen . $\mu (n)\neq 0$ $\mu(n)$

Dirichlet-serien , der genererer kvadratfrie tal:

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}

hvor er Riemann zeta-funktionen .

\zeta (s)

Dette fremgår umiddelbart af Eulers produkt :

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{ -s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}).

Et positivt tal n er kvadratfrit, hvis og kun hvis alle abelske grupper af orden n er isomorfe i forhold til hinanden, hvilket er sandt, hvis og kun hvis de alle er cykliske . Dette følger af klassificeringen af endeligt genererede abelske grupper .

Et positivt tal n er kvadratfrit, hvis og kun hvis kvotientringen (se modulo kongruens ) er et produkt af felter . Dette følger af den kinesiske restsætning og det faktum, at en ring er et felt, hvis og kun hvis k er primtal. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

For ethvert positivt tal n er mængden af alle dens positive divisorer et delvist ordnet mængde , hvis vi tager "deleligheds"-relationen som rækkefølgen. Dette delvist ordnede sæt er altid et fordelingsgitter . Det er en boolsk algebra , hvis og kun hvis n er firkantfri.

Radikalen i et heltal er altid fri for kvadrater.

Tæthed af kvadratfrie tal

Let angiver antallet af kvadratfrie tal mellem 1 og x . For store n er 3/4 positive tal mindre end n ikke delelige med 4, 8/9 af disse tal er ikke delelige med 9 osv. Da disse hændelser er uafhængige, får vi formlen: $Q(x)$

{\displaystyle Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime))}\left(1-{\frac {1}{p^{2))}\right)=x\prod _{p\ {\tekst{primtal))}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2))})^{-1))))

Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime))}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2))}+{\ frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2} }}}}={\frac {x}{\zeta (2)))

Du kan få formlen uden zeta-funktionen:

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\venstre({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2 }}}+O\venstre({\sqrt {x}}\right)

(se pi og "O" stor og "o" lille ). Ifølge Riemann-hypotesen kan estimatet forbedres: [1]

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)))+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\venstre(x^{17/54+\varepsilon }\højre).

Sådan opfører forskellen mellem antallet af kvadratfrie tal op til n sig på OEIS hjemmeside: A158819 - (Antal kvadratfrie tal ≤ n ) minus rund( n /ζ(2)). $\left[{\frac {n}{\zeta (2)))\right]$

Den asymptotiske tæthed af kvadratfrie tal ser således ud:

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{ \zeta(2)}}

Hvor er Riemann zeta-funktionen a (det vil sige, at ca. 3/5 af alle tal er fri for kvadrater). $\zeta$ $1/\zeta (2)\ca. 0,6079$

På samme måde, hvis betyder antallet af n -frie tal (det vil sige, at 3-frie tal ikke indeholder terninger) mellem 1 og x , så: $Q(x,n)$

Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n))))}+O\venstre ({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)))+O\venstre({\sqrt[{n}]{x}}\right ).

Binær kodning

Hvis vi repræsenterer et kvadratfrit tal som et uendeligt produkt af formen

\prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n)),

hvor , a er det n'te primtal, så kan vi vælge disse koefficienter og bruge dem som binære bits: $a_{n}\in \{0,1\},$ $p_n$ $a_n$

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}

For eksempel er det kvadratfrie tal 42 dekomponeret som 2 × 3 × 7, eller som et uendeligt produkt: 2 1 3 1 5 0 7 1 11 0 13 0 …; Således er tallet 42 kodet af sekvensen ...001011 eller 11 i decimal. (I binær kodning skrives bits omvendt.) Og da primfaktoriseringen af hvert tal er unik, er den binære kode for hvert kvadratfrit tal også unik.

Det omvendte er også sandt: da hvert positivt tal har en unik binær kode, kan det afkodes for at give unikke kvadratfrie tal.

Lad os tage tallet 42 igen som eksempel – denne gang blot som et positivt tal. Så får vi den binære kode 101010 - det betyder: 2 0 3 1 5 0 7 1 11 0 13 1 = 3 × 7 × 13 = 273.

Med hensyn til kardinaliteter betyder det, at kardinaliteten af mængden af kvadratfrie tal er den samme som kardinaliteten af mængden af alle naturlige tal. Hvilket igen betyder, at indkodninger af kvadratfrie tal i rækkefølge netop er en permutation af mængden af naturlige tal.

Se sekvenserne A048672 og A064273 på OEIS hjemmeside .

Erdős formodning

Den centrale binomiale koefficient kan ikke være kvadratfri for n > 4. ${2n \choose n}$

Denne Erdős antagelse om kvadratiskhed blev bevist i 1996 af matematikerne Olivier Ramare og Andrew Graville.

Se også

Möbius funktion

Litteratur

Bukhshtab A. A. Talteori. - M .: Uddannelse, 1966. - 385 s.

Noter

↑ Jia, Chao Hua. "Fordelingen af kvadratfrie tal", Science in China Series A: Mathematics 36 :2 (1993), s. 154-169. Citeret i Pappalardi 2003, A Survey on k -freeness Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine ; se også Kaneenika Sinha, " Average orders of certain aritmetical functions Archived 14 February 2012 at the Wayback Machine ", Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21 :3 (2006), s. 267-277.

Tal efter delelighedskarakteristika
Generel information	Faktorisering af heltal Delbarhed enhedsdeler Divisor funktion primtal Grundlæggende sætning for aritmetik Aritmetisk tal
Faktoriseringsformer	primtal Komposit nummer Semiprime rektangulært tal Sphenisk tal Kvadratløst tal Fuld multiple Perfekt grad Achilles nummer glat nummer Almindelig nummer groft tal usædvanligt antal
Med begrænsede divisorer	perfekt tal Lidt utilstrækkelige tal Lidt overflødige tal Multiperfekt tal Hemiperfekte tal hyperperfekt tal super perfekt nummer enhedsprimtal semiperfekt tal pararytmisk tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med mange divisorer	Overskydende tal Primitive overskydende tal Meget overflødige tal Super redundante numre Enormt overflødige tal supersammensat tal Et meget supersammensat tal mærkeligt nummer
Relateret til aliquot -sekvenser	helligt tal venlige tal offentlige numre Kvasivenlige tal
Andet	Ikke nok tal ven tal sublimerede tal Malmtal ydmygt nummer Lige cifre ekstravagant nummer