Möbius funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. maj 2020; checks kræver 8 redigeringer .

Möbius-funktionen er en multiplikativ aritmetisk funktion, der bruges i talteori og kombinatorik , opkaldt efter den tyske matematiker Möbius , som først overvejede den i 1831 . $\mu(n)$

Definition

$\mu(n)$ er defineret for alle naturlige tal og tager værdier afhængigt af arten af nedbrydningen af tallet til primfaktorer: $n$ ${-1,\;0,\;1}$ $n$

$\mu(n)=1$ , hvis den er fri for kvadrater (dvs. intet primtal er deleligt med kvadratet) og nedbrydningen til primfaktorer består af et lige antal faktorer; $n$ $n$
$\mu(n)=-1$ , hvis den er fri for kvadrater og nedbrydningen til primfaktorer består af et ulige antal faktorer; $n$ $n$
$\mu(n)=0$ , hvis ikke fri for firkanter. $n$

Også per definition . $\mu(1)=1$

Ivan Matveevich Vinogradov i bogen "Elements of Higher Mathematics" indeholder følgende definition af Möbius-funktionen:

Möbius-funktionen er en multiplikativ funktion defineret af lighederne: $\mu \,(p)=-1,\;\mu \,(p^{\alpha })=0,\;{\text{if}}\;\alpha >1.$

Fra disse to ligheder og multiplikativiteten af selve funktionen er dens værdier for alle naturlige argumenter afledt.

Funktioner og applikationer

Möbius-funktionen er multiplikativ: for alle coprimtal og ligheden gælder . $-en$ $b$ $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$

Summen af værdierne af Möbius-funktionen over alle divisorer af et heltal, der ikke er lig med en, er lig nul $n$

\sum _{{d|n}}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}

Dette følger især af den kendsgerning, at antallet af forskellige delmængder bestående af et ulige antal elementer for enhver ikke-tom finit mængde er lig med antallet af forskellige delmængder bestående af et lige antal elementer, et faktum, der er også brugt i beviset for Möbius-inversionsformlen .

$\sum \limits _{{k=1}}^{n}\mu (k)\venstre[{\frac {n}{k}}\right]=1.$

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,$ hvor n er et positivt heltal .

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln(2k+1)}{2k+1}}=-2.$

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln ^{2}k}{k))=-2\gamma ,$ hvor er Euler-konstanten . $\gamma$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln ^{2}(2k+1)}{2k+1))=-4 (\gamma +ln2).$

Möbius-funktionen er tæt beslægtet med Riemann zeta-funktionen . Således er koefficienterne for Dirichlet-rækken af en funktion, der er multiplikativt invers for Riemann zeta-funktionen, udtrykt i form af Möbius-funktionen:

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (n)}{n^{{s))))={\frac {1}{\zeta ( s)}}

Serien konvergerer absolut ved , konvergerer betinget på linjen , i regionen svarer udsagnet om seriens betingede konvergens til Riemann-hypotesen , og ved , konvergerer serien bestemt ikke, heller ikke betinget. ${{\rm {Re}}}\,s>1$ ${{\rm {Re}}}\,s=1$ $1/2<{{\rm {Re}}}\,s<1$ ${{\rm {Re}}}\,s<1/2$

Når formlen også er gyldig: ${{\rm {Re}}}\,s>1$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {|\mu (n)|}{n^{{s))))={\frac {\zeta (s )}{\zeta (2s)))

$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (pn)}{n^{{s))))={\frac {p^{{s} }}{(1-p^{{s}})\zeta (s)}},$ hvor p er et primtal.

Möbius-funktionen er relateret til Mertens-funktionen , også tæt forbundet med problemet med nullerne i Riemann-zeta-funktionen

M(n)=\sum _{{k=1}}^{n}\mu (k).

De asymptotiske relationer er gyldige:

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}\mu (n)=o(1)

på

x\højrepil \infty

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)))+O({\ frac {1}{{\sqrt x}}}})

hvoraf det følger, at der er en asymptotisk fordelingstæthed for værdierne af Möbius-funktionen. Den lineære tæthed af sættet af dens nuller er , og tætheden af sættet af ener (eller minus enere) er . Probabilistiske tilgange til studiet af Möbius-funktionen er baseret på dette faktum. $1-1/\zeta(2)=0,3920729$ $1/2\zeta(2)=0,30396355$

Möbius inversion

Den første Möbius-inversionsformel

For aritmetiske funktioner og , $f$ $g$

g(n)=\sum _{{d\,\midt \,n}}f(d)

hvis og kun hvis

f(n)=\sum _{d\,\midt \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d))\right)

Den anden Möbius-inversionsformel

For funktioner med realværdi og defineret for , $f(x)$ $g(x)$ $x\geqslant 1$

g(x)=\sum _{{n\leqslant x}}f\venstre({\frac {x}{n}}\right)

hvis og kun hvis

f(x)=\sum _{{n\leqslant x}}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)

Her tolkes summen som . $\sum _{{n\leqslant x}}$ $\sum _{{n=1}}^{{\lgulv x\rgulv }}$

Generaliseret Möbius-funktion

På trods af den tilsyneladende unaturlighed i definitionen af Möbius-funktionen, kan dens natur blive tydelig, når man overvejer en klasse af funktioner med lignende reversibilitetsegenskaber introduceret på vilkårlige delvist ordnede sæt .

Lad et delvist ordnet sæt med sammenligningsforhold gives . Det vil vi antage . $\præc$ $a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b$

Definition

Den generaliserede Möbius-funktion er rekursivt defineret af relationen.

{\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{ {\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&a\not \preccurlyeq b\end{cases}}

Konverteringsformlen

Lad funktionerne og tage reelle værdier på sættet og tilstanden er opfyldt . $g$ $f$ $EN$ $g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}$

Derefter $f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}$

Forbindelse med den klassiske Möbius-funktion

Hvis vi tager som et sæt af naturlige tal, tager forholdet som et forhold , så får vi , hvor er den klassiske Möbius-funktion. $EN$ $a \prec b$ $a \mid b \land a \ikke = b$ ${\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\venstre({\frac{b}{a))\højre)$ $\mu$

Dette betyder især, at , og yderligere følger definitionen af den klassiske Möbius-funktion ved induktion fra definitionen af en generaliseret funktion og identiteten , da summeringen over alle divisorer af et tal, der ikke er deleligt med et helt kvadrat , kan betragtes som summeringen over den boolske værdi af dens primfaktorer ganget med i hvert element i den boolske værdi. $\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)$ $\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0$