Central binomial koefficient

I matematik er den n'te centrale binomiale koefficient defineret ved følgende udtryk i form af binomiale koefficienter

{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}

for alle .

n\geq 0

De har fået deres navn på grund af, at de er præcis i midten af de lige rækker i Pascals trekant . De første par centrale binomiale koefficienter er skrevet nedenfor, startende fra n = 0:

1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... OEIS -sekvens A000984

Egenskaber

Genererende funktion :

{\frac {1}{{\sqrt {1-4x))))=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .

Ifølge Stirling-formlen får vi:

{2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n))))

kl .

n\højrepil\infty

Nyttige begrænsninger:

{\frac {4^{n}}{{\sqrt {4n}}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{{\sqrt {3n+1}} }}

for alle

n\geq 1

Hvis der er behov for mere præcision:

{2n \choose n}={\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n}}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)

hvor for alle .

{\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}

n\geq 1

Nært beslægtet med dette koncept er de såkaldte. catalanske tal , C n . Deres formel:

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \vælg n}={2n \vælg n}-{2n \vælg n+1}

for alle .

n\geq 0

Generaliseringen af de centrale binomiale koefficienter kan betragtes som tallene , for alle reelle n, for hvilke udtrykket er defineret, hvor er Gamma-funktionen , og dette er Beta-funktionen . ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2))}={\frac {1}{n\mathrm{B} (n+1,n)))$ $\gamma (x)$ $\mathrm{B} (x,y)$

Se også

Erdős' antagelse om kvadratiskhed

Central binomial koefficient

Egenskaber

Se også

Links