Lambda matrix

Lambdamatrix ( λ-matrix , matrix af polynomier ) er en kvadratisk matrix, hvis elementer er polynomier over et eller andet talfelt . Hvis der er et matrixelement, der er et polynomium af grad , og der ikke er nogen matrixelementer af grad større end , så er graden af λ-matricen. $\l$ $\l$ $\l$

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{ 21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{ n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l }+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.

Ved at bruge de sædvanlige operationer på matricer kan enhver λ-matrix repræsenteres som:

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}.

Hvis matrixdeterminanten ikke er nul , så kaldes λ-matricen regulær. ${\displaystyle \ A_{l))$

Et eksempel på en uregelmæssig λ-matrix:

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2} +\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} }\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^ {2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.

Algebra af λ-matricer

Addition og multiplikation

λ-matricer af samme orden kan tilføjes og ganges indbyrdes på sædvanlig måde, og resultatet er en anden λ-matrix.

Lad og være λ-matricer af ordrer og henholdsvis, og , derefter $A\left(\lambda\right)$ $B\left(\lambda\right)$ $\l$ $\m$ $\k=max(l,m)$

A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

;

B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_ {0}

hvor mindst en af matricerne ikke er nul, har vi ${\displaystyle \ A_{k},B_{k))$

A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_ {k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0})

;

A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_ {k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_ {0})

;

Division

Antag, at det er en regulær λ-matrix, og at der er λ-matricer med eller med grad mindre end grad , således at $\ B(\lambda )$ $\ Q(\lambda ),R(\lambda )$ $\ R(\lambda )\equiv 0$ $\ R(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

\ A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )

I dette tilfælde kaldes det den rigtige kvotient , når den divideres med , og - den rigtige rest . Tilsvarende og er venstre kvotient og venstre rest , når divideret med if $\ Q(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$ $\ R(\lambda )$ ${\hat {Q}}(\lambda )$ ${\hat {R}}(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )

og eller grad mindre end grad . ${\hat {R}}(\lambda )\equiv 0$ ${\hat {R}}(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

Hvis den højre (venstre) rest er 0, kaldes den den højre (venstre) divisor, når den divideres med . $\ Q(\lambda )$ $({\hat {Q}}(\lambda ))$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

Hvis er regulær, så eksisterer den højre (venstre) kvotient og den højre (venstre) rest, når divideret med , og er unikke. $\ B(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

λ-matricer med matrixargumenter

På grund af matrixmultiplikationens ikke- kommutativitet , i modsætning til egenskaberne for et almindeligt polynomium, er det for en λ-matrix umuligt at skrive en lighed svarende til

a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l} a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0}

så vi definerer den rigtige værdi af λ-matricen i matrixen som $\ A(B)$ $\ A(\lambda )$ $\ B$

{\displaystyle A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0))

, hvis ;

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

og venstre værdi' som: ${\hat {A}}(B)$

{\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+ A_{0}

og generelt . $A(B)\neq {\hat {A}}(B)$

Bezouts sætning for λ-matricer

For λ-matricer er der en egenskab, der ligner Bezouts sætning for polynomier: højre og venstre rester efter at have divideret λ-matricen med , hvor — identitetsmatricen er hhv . $\ A(\lambda )$ $\ \lambda EB$ $\ E$ $\ A(B)$ ${\hat {A}}(B)$

Egenskaben er bevist gennem faktorisering:

\ \lambda ^{j}EB^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^ {j-1})(\lambdaEB)

når man multiplicerer begge sider af denne lighed med venstre side og tilføjer alle de opnåede ligheder for , vil højre side se ud , hvor er en eller anden λ-matrix. Venstre side af ligestilling: ${\displaystyle \ A_{j))$ $\j=1,\cdots ,l$ $\ C(\lambda )(\lambda EB)$ $\ C(\lambda )$

\sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A (B)

På denne måde:

\ A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda EB)+A(B)

Resultatet følger nu af det unikke ved den rigtige rest. Udsagnet for venstre rest fås ved at invertere faktorerne i den oprindelige dekomponering, gange resultatet med højre og summere. ${\displaystyle \ A_{j))$

Konsekvens: for at en λ-matrix skal være højre (venstre) delelig uden rest, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at . $\ A(\lambda )$ $\ \lambda EB$ $\ A(B)=0$ $\left({\hat {A}}(B)=0\right)$

Litteratur

Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 2. udgave - M . : Nauka , 1966.
Lancaster P. Matrix Theory. — M .: Nauka, 1973.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet