Terning (algebra)

Terningen af et tal er resultatet af at hæve et tal til en potens af 3, det vil sige produktet af tre faktorer, som hver er ens. Denne aritmetiske operation kaldes "kuberet", dens resultat er betegnet : $x$ $x.$ $x^{3}$

x^{3}=x\cdot x\cdot x

For kvadrering tager den omvendte operation terningroden . Det geometriske navn på tredje grads " terning " skyldes det faktum, at gamle matematikere betragtede værdierne af terninger som kubiktal , en speciel slags krøllede tal (se nedenfor), da tallets terning er ens . til rumfanget af en terning med en kantlængde lig med . $x$ $x$

Sekvens af terninger

Rækkefølgen af terninger af ikke-negative tal starter med tal [1] :

0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875 , 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736. 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 2383

Summen af terninger af de første positive naturlige tal beregnes med formlen: $n$

\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}=\venstre ({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}

Afledning af formlen

Formlen for summen af terninger kan udledes ved hjælp af multiplikationstabellen og formlen for summen af en aritmetisk progression [2] . I betragtning af to 5 × 5 multiplikationstabeller som en illustration af metoden, vil vi ræsonnere til tabeller af størrelsen n × n.

Multiplikationstabel og terninger af tal

×	en	2	3	fire	5
en	en	2	3	fire	5
2	2	fire	6	otte	ti
3	3	6	9	12	femten
fire	fire	otte	12	16	tyve
5	5	ti	femten	tyve	25

Multiplikationstabel og aritmetisk progression

×	en	2	3	fire	5
en	en	2	3	fire	5
2	2	fire	6	otte	ti
3	3	6	9	12	femten
fire	fire	otte	12	16	tyve
5	5	ti	femten	tyve	25

Summen af tal i det k-te (k=1,2,...) valgte område af den første tabel:

k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3

Og summen af tal i det k-te (k=1,2,...) valgte område af den anden tabel, som er en aritmetisk progression:

k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}

Ved at summere over alle udvalgte områder i den første tabel får vi det samme tal som at summere over alle udvalgte områder af den anden tabel:

\sum_{k=1}^nk^3=\sum_{k=1}^nk\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_ {k=1}^nk=\venstre(\frac{n(n+1)}{2}\højre)^2

Nogle egenskaber

I decimalnotation kan en terning ende med et hvilket som helst tal (i modsætning til et kvadrat )
I decimalnotation kan de sidste to cifre i en terning være 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 6 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Afhængigheden af det næstsidste ciffer i terningen sidste kan repræsenteres som følgende tabel:

sidste ciffer	næstsidste ciffer
0	0
5	2, 7
4, 8	også selvom
2, 6	ulige
1, 3, 7, 9	nogen

Kuber som krøllede tal

" Kubisk tal " er historisk set blevet set som en slags rumlige figurative tal . Det kan repræsenteres som forskellen mellem kvadraterne af på hinanden følgende trekantede tal [3] : $Q_{n}=n^{3}$ $T_{n}$

Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2},n\geqslant 2

Følge: summen af de første kubiktal er lig med kvadratet af det trekantede tal: $n$ $n$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2))

Forskellen mellem to tilstødende kubiktal er et centreret sekskantet tal .

Følge: summen af de første centrerede sekskantede tal er et kubiktal [3] . $n$ $Q_{n}$

Udtrykket af kubiktallet i form af tetraedrisk [3] : ${\displaystyle \Pi _{n}^{(3)))$

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, hvor

n > 2.

En af " Pollocks formodninger " (1850): hvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af højst ni kubiktal. For første gang blev denne formodning (" Warings problem ") fremført af Eduard Waring i 1770, bevist af Hilbert i 1909. Normalt er syv terninger tilstrækkelige til at repræsentere et givet tal, men 15 tal kræver otte (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 450IS sekvens A 8018 ), og to tal skal have alle ni: 23 og 239 [4] [5] .

Hvis der udover addition er subtraktion tilladt (eller, hvilket er det samme, terninger med negative tal er tilladt ), så er fem terninger nok. For eksempel, for ovenstående nummer 23, fire [5] [4] .:

23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{ 3}+1^{3}=8^{3}+8^{3}-10^{3}-1^{3}

Der blev fremsat en hypotese om, at ethvert heltal kan repræsenteres som en sum af højst fire terninger (med fortegn), men dette er endnu ikke bevist, selvom det er blevet testet på en computer for tal op til 10 millioner I 1966 , V. Demyanenko beviste, at ethvert heltal , bortset fra tal på formen 9n ± 4, kan repræsenteres som summen af fire terninger. Det største tal, der måske ikke er repræsenteret som summen af fire terninger, er 7373170279850 , og der er grund til at tro, at dette er det største sådanne tal [6] [4] .

Den genererende funktion af kubiktal har formen [3] :

f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}};\quad |x|<1

Noter

↑ OEIS -sekvens A000578 = Terningerne: a (n) = n^3
↑ Rowe S. Geometriske øvelser med et stykke papir . - 2. udg. - Odessa: Matezis, 1923. - S. 68-70.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , s. 78-81.
↑ 1 2 3 Stuart, Ian . Professor Stewarts utrolige tal = Professor Stewarts utrolige tal. - M . : Alpina faglitteratur, 2016. - S. 79-81. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 231-232.
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Tillæg af. 7373170279850 (engelsk) // Mathematics of Computation : journal. - 2000. - Vol. 69 , nr. 229 . - S. 421-439 . - doi : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .

Litteratur

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bag siderne i en matematik lærebog: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Uddannelse, 1996. - S. 30 . - 320 sek. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer GI Historie om matematik i skolen . - M . : Uddannelse, 1964. - 376 s.
Deza E., Deza M. Krøllede tal. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Links

krøllede tal
Figurerede tal hos MathWorld

krøllede tal

flad

Klassisk polygonal	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Dodecagonal
Centreret	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Ni-vinklet Dekagonal

Pyramideformet	tetraedrisk Firkantet pyramideformet
mangefacetteret	kubik Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellet oktaedral

mangefacetteret	Pentatopisk Bisquare