Kvadratisk form

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. september 2021; checks kræver 3 redigeringer .

En kvadratisk form er en funktion på et vektorrum defineret af et homogent polynomium af anden grad i vektorens koordinater.

Definition

Lad være et vektorrum over et felt og være et grundlag i . $L$ $K$ $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $L$

En funktion kaldes en andengradsform, hvis den kan repræsenteres som $Q:L til K$

Q(x)=\sum _{{i,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j},

hvor , og er nogle elementer i feltet . $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}$ $a_{{ij}}$ $K$

Relaterede definitioner og egenskaber

Matrixen kaldes matrixen af kvadratisk form i det givne grundlag. Hvis feltkarakteristikken ikke er lig med 2, kan vi antage, at den kvadratiske forms matrix er symmetrisk, dvs. Så for eksempel skrives den kvadratiske form i to variable normalt som $A=(a_{{ij}})$ $Q(x)$ $K$ ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji))$

Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2} ^{2}

Når du ændrer grundlaget (dvs. en ikke-degenereret lineær ændring af variable ) med en erstatningsmatrix , ændres matrixen for den kvadratiske form med formlen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $C$

A'=C^{T}A\,C,

hvor er den kvadratiske forms matrix i det nye grundlag.

EN'

Det følger af formlen , at determinanten for en matrix af en kvadratisk form ikke er dens invariant (dvs. den bevares ikke, når grundlaget ændres, i modsætning til f.eks. matrixen for en lineær afbildning ), men dens rang er. Således er begrebet rang af en kvadratisk form defineret . $A'=C^{T}A\,C$
Hvis matrixen af en andengradsform har fuld rang , så kaldes den andengradsform ikke- degenereret , ellers- degenereret . $n$
For enhver kvadratisk form er der en unik symmetrisk bilineær form , sådan at . En bilineær form siges at være polær i forhold til, hvis den kan beregnes ud fra formlen $Q$ $B$ $Q(x)=B(x,x)$ $B$ $Q$

B(x,y)={\frac {1}{2}}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).

Matrixen af en kvadratisk form på en vilkårlig basis falder sammen med matrixen af dens polære bilineære form på samme basis.

Bestemte og vekslende former

I det tilfælde, hvor (feltet med reelle tal), spilles en vigtig rolle, herunder for forskellige applikationer, af begreberne positive og negative bestemte kvadratiske former. $K=\mathbb {R}$

En andengradsform siges at være positivt ( negativt ) bestemt , hvis uligheden gælder for nogen . Positiv-bestemt og negativ-bestemt former kaldes for tegn-bestemt . $Q$ $x\neq 0$ $Q(x)>0$ $(Q(x)<0)$
En andengradsform kaldes fortegnsvekslende ( ubestemt ), hvis den har både positive og negative værdier. $Q(x)$
En kvadratisk form siges at være positivt ( negativt ) semibestemt , hvis for nogen , og der eksisterer sådan, at . $Q(x)$ $Q(x)\geq 0$ $(Q(x)\leq 0)$ $x\i L$ $x\neq 0$ $Q(x)=\ 0$

For at afgøre, om en given kvadratisk form er positivt (negativt) bestemt, bruges Sylvester-kriteriet :

En kvadratisk form er positiv bestemt, hvis og kun hvis alle de vinkelformede minorer i dens matrix er strengt positive.
En andengradsform er negativ bestemt, hvis og kun hvis fortegnene for alle de vinkelformede mol af dens matrix veksler, hvor rækkefølgen 1 mol er negativ.

En bilineær form, der er polær til en positiv bestemt kvadratisk form, opfylder alle punktproduktets aksiomer .

Kanonisk form

Ægte tilfælde

I tilfældet når (feltet med reelle tal) er der for enhver kvadratisk form et grundlag, hvor dens matrix er diagonal, og selve formen har en kanonisk form , det vil sige, den indeholder kun kvadrater af variable: $K=\mathbb {R}$

Q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{p}x_{p}^{2}-a_{p+1}x_{p+1}^ {2}-\cdots -a_{p+q}x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)

hvor er rangen af den kvadratiske form. . I dette tilfælde kaldes koefficienterne kanoniske koefficienter . I tilfælde af en ikke-degenereret kvadratisk form , og i tilfælde af en degenereret, . $r$ $a_{{i}}$ $p+q=n$ $p+q<n$

Der er også en normal form for en kvadratisk form: . $Q_{n}(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+ q }^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)$

For at reducere en kvadratisk form til en kanonisk form, bruges normalt Lagrange-metoden eller ortogonale transformationer af basis, og en given kvadratisk form kan reduceres til en kanonisk form ikke på én, men på mange måder.

Antallet (af negative led) kaldes inertiindekset for den givne andengradsform, og tallet (forskellen mellem antallet af positive og negative led) kaldes signaturen for den kvadratiske form. Bemærk, at signaturen på en kvadratisk form nogle gange kaldes et par . Tallene er invarianter af den kvadratiske form, det vil sige, at de ikke afhænger af den måde, den reduceres til den kanoniske form ( Sylvesters inertilov ). $q$ $pq$ $(p,q)$ $p,q,pq$

Kompleks sag

I tilfældet når (feltet med komplekse tal) er der for enhver kvadratisk form et grundlag, hvor formen har den kanoniske form $K=\mathbb {C}$

Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)

hvor er rangen af den kvadratiske form. I det komplekse tilfælde (i modsætning til det virkelige tilfælde) har den kvadratiske form således én enkelt invariant, rangen, og alle ikke-degenererede former har den samme kanoniske form (summen af kvadrater). $r$

Eksempler

Det skalære produkt af vektorer er en symmetrisk bilineær funktion. Den tilsvarende kvadratiske form er positiv bestemt; den tildeler en vektor kvadratet af dens længde. $(x,y)$ $Q(x)=(x,x)$ $x$
Den kvadratiske form på planet (vektoren har to koordinater: og ) er fortegnsvekslende, den reduceres til den kanoniske form ved hjælp af en lineær ændring . ${\displaystyle Q(x)=x_{1}x_{2))$ $x$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}'^{2}-x_{2}'^{2}$ $x_{1}=x_{1}'+x_{2}',\ x_{2}=x_{1}'-x_{2}'$

Se også

Noter

Litteratur

Beklemishev DV Analytisk geometri og lineær algebra.-M.: Vyssh. skole 1998, 320'erne.
Gel'fand I. M. , lineær algebra . Foredragskursus.
Gelfand I. M. Forelæsninger om lineær algebra, Moskva: Nauka, 1971.
Conway, J. Quadratic Forms Given To Us in Sensations . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 s. - 1000 eksemplarer. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
Maltsev AI Fundamentals af lineær algebra. Moskva: Nauka, 1975.
Faddeev D. K. Forelæsninger om Algebra. Moskva: Nauka, 1984.
Kostrikin A. I. Introduktion til algebra, Moskva: Nauka, 1977.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet