Finit type invariant
En finit type invariant (eller Vasiliev invariant ) er en klasse af knudeinvarianter karakteriseret ved en vis relation til alle opløsninger af en ental knude med et givet antal selvskæringer.
Definition
Lade være en invariant af noder med værdier i reelle tal, det vil sige , der er et reelt tal defineret for hver node , sådan at hvis noder og er isotopiske.
Overvej et fladt knudediagram og vælg en delmængde af dets skæringspunkter, bestående af elementer. Lad os nummerere disse skæringspunkter fra 1 til .
For sættet , hvor vi betragter diagrammet opnået ved at ændre skæringspunkterne i henhold til følgende regel: hvis , så ændres det -th skæringspunkt ikke, og hvis , så ændres det til det modsatte.
![{\displaystyle D[\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28424e0dd1fdbb29a0253eafd175ded60634aa2)
Lad være et ikke-negativt heltal. Hvis for ethvert diagram og ethvert valg af kryds, identiteten
![{\displaystyle \sum _{(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m})}\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{m}\cdot f(D[\varepsilon _{ 1},\dots ,\varepsilon _{m}])=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4a8a1b150af793d899f6cfc983299091357200)
så siger de, at den har en grad, der ikke er højere end .
Finite grad invarianter kaldes finite type invarianter .
Eksempler
- Alle kendte polynomielle knudeinvarianter er udtrykt i form af invarianter af finit type.
- Koefficienten for det kvadratiske led i Alexanderpolynomiet er en finit type invariant af grad to.
- Enhver koefficient i Kontsevich-integralet er en finit type invariant.
Egenskaber
- Invarianter af grad ikke højere danner et vektorrum . Hvori
- og er endimensionelle, det vil sige, at invarianter af grad ikke højere er kun konstanter.
Åbne spørgsmål
- Danner invarianter af endelig type et komplet system af invarianter? Det vil sige, er det sandt, at hvis to noder og ikke er isotopiske, så er der en finit type invariant sådan, at ?
Historie
Invarianter af finit-type knude blev foreslået uafhængigt af Vasiliev og Gusarov [1] i slutningen af 1980'erne. Vasiliev ejer de første publikationer om dette emne (1990), [1] Gusarov, talte ved Rokhlins seminar i 1987, og den første publikation blev først offentliggjort i 1991 [2] .
I 1992 holdt Arnold en tale om dette emne på European Mathematical Congress . [3] Siden da er udtrykket "Vassiliev-invarianter" blevet fast.
Noter
- ↑ V.A. Vassiliev. Kohomologi af knuderum // Advances in Soviet Math .. - 1990. - T. 1 . — S. 23–69 .
- ↑ M. N. Gusarov. En ny form af Conway-Jones polynomiet af orienterede links // Notes of Scientific Seminars POMI. - 1991. - T. 193 .
- ↑ VI Arnold. Vassilievs teori om diskriminanter og knob // First European Congress of Mathematicians. - 1992. - T. 1 . — s. 3–29 .
Litteratur
- S.V. Duzhin , S.V. Chmutov Knob og deres invarianter // Matem. oplysning, ser. 3 . - 1999. - T. 3 . - S. 59-93 .