Kontsevich invariant

Kontsevich-invarianten , (eller Kontsevich-integralet [1] ) er en invariant af et orienteret indrammet led af en bestemt type. Det er en universel Vasiliev-invariant [2] i den forstand, at hver koefficient af Kontsevich- invarianten er en invariant af finit type , og omvendt kan enhver finit type invariant repræsenteres som en lineær kombination af sådanne koefficienter. Det er en vidtgående generalisering af en simpel integralformel for linknummeret [3] .

Invarianten blev defineret af Maxim Lvovich Kontsevich i 1992 i beviset for Vasiliev-Kontsevich-sætningen.

Kontsevich-invarianten er en universel kvante-invariant i den forstand, at enhver kvante-invariant kan opnås ved at erstatte et passende vægtsystem i Jacobi-diagrammet .

Definition

Kontsevich-invarianten er defineret som monodromien af Knizhnik-Zamolodchikov-forbindelsen foruden foreningen af diagonale hyperplaner i C n [4] .

Den enkleste Kontsevich-type integral

Lad os repræsentere det tredimensionelle rum som et direkte produkt af en kompleks linje med koordinat z og en reel linje med koordinat t . Lad os indlejre linket i rummet , så koordinaten t er en morsefunktion på L . Dette betyder, at på alle punkter, hvor t som funktion af en parameter på kurven har en nul-afledt, bør dens anden afledede ikke forsvinde, og værdierne af t på alle sådanne punkter (kritiske værdier) bør være forskellige fra hinanden [5] . Det viser sig, at koblingstallet derefter kan beregnes ved hjælp af følgende formel: $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $L=K\kop K'$ $\mathbb {R} ^{3}=z\ gange t$

lk(K,K')={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{m}^{M}\sum _{j}{\varepsilon _{j}{\frac { d(z_{j}(t)-z'_{j}(t))}{z_{j}(t)-z'_{j}(t)}}}

Kontsevichs formel

Det (originale) Kontsevich-integral af knude K er det næste element i færdiggørelsen af algebraen af akkorddiagrammer [5] : ${\displaystyle {\bar {\mathcal {A))))$

Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{{\tfrac {1}{(2\pi i)^{m))}\int _{t_{min}< t_{1}<\ldots <t_{m}<t_{max}}{\sum _{P=\left\{(z_{j},z'_{j})\right\}}{(- 1)^{\downarrow }D_{p}\bigwedge _{j=1}^{m}{\frac {dz_{j}-dz'_{j}}{z_{j}-z'_{j }}}}}}

For en forklaring af denne formel, se artiklen af S. V. Duzhin . Hvis vi med H betegner en triviel knude, hvis indlejring i rummet giver to maksima og to minima, får vi [6] :

{\displaystyle I(K)={\frac {Z(K)}{Z(K)^{c/2))))

hvor c er antallet af kritiske punkter for funktionen t på K .

Det kan vises, at integralet for det første konvergerer for enhver knude, der er placeret i rummet på den ovenfor angivne måde, og for det andet ikke ændres for glatte isotoper af knuden, for hvilke antallet af kritiske punkter i funktionen t er bevaret . Da knudepunktet er en lukket kurve, kan kritiske punkter kun vises og forsvinde i par. $Z(K)$

$I(K)$ kaldes det endelige Kontsevich-integral

Kontsevich-integralet er et ret komplekst objekt, og i flere år var ingen i stand til at beregne det endelige Kontsevich-integral selv for en triviel knude. Kun koefficienterne for nogle akkorddiagrammer i en uendelig sum var kendt.

I 1997 fremkom formodningen fra D. Bar-Nathan et al . [7] (bevist i 1998 [8] ), at [9]

I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{b_{2n}w_{2n))

her er O en ikke-knude (cirkel) svarende til H, er modificerede Bernoulli tal, og er hjul , dvs. diagrammer i form af en cirkel med radiale segmenter. Hjulprodukter forstås som en usammenhængende forening af diagrammer, og selve hjulene fortolkes som lineære kombinationer af Feynman-diagrammer (se nedenfor). ${\displaystyle b_{2n))$ ${\displaystyle w_{2n))$

Jacobi diagram

Feynman-diagram og akkorddiagram

Et Feynman-diagram af grad n er en forbundet trivalent graf med 2n toppunkter, hvori der skelnes mellem en orienteret cyklus, kaldet en Wilson-løkke [10] . Akkorddiagrammet er et specialtilfælde af Feynman-diagrammer (de har alle trivalente hjørner liggende på Wilson-løkken). Graden af et Feynman-diagram er halvdelen af det samlede antal hjørner i grafen. Et Feynman-diagram kaldes forbundet , hvis den tilsvarende graf forbliver forbundet efter at have kasseret Wilson-løkken [3] .

Definition

Lad X være en cirkel (som er en 1-dimensionel manifold og vil tjene som en Wilson-løkke ). Som vist på figuren til højre er Jacobi-diagrammet af orden n en graf med 2n toppunkter, hvor den ydre cirkel (Wilsons løkke) er repræsenteret af en fuldt optrukket linje, og de stiplede linjer kaldes den indre graf, hvilket opfylder følgende betingelser:

Retningen er kun angivet på den ydre sløjfe.
Hjørner med en værdi på 1 eller 3. Hjørner med en værdi på 3 er forbundet med en af de andre (halv)kanter med uret eller mod uret, som repræsenteret af en lille orienteret cirkel.

Hjørner med en værdi på 1 kaldes ofte univalente, og dem med en værdi på 3 kaldes trivalente [11] . Univalente hjørner er forbundet med den ydre cirkel uden multiplicitet og ordnet efter cirklens orientering. Jacobi-diagrammet kan afbrydes, og det kræves, at hver tilsluttet komponent har mindst ét univalent vertex [11] . Kanter på G kaldes akkorder . Vi betegner med A ( X ) kvotientrummet for den kommutative gruppe dannet af alle Jacobi-diagrammer på X ved følgende relationer:

(AS-forhold) + = 0 (IHX relation) = − (STU relation) = − (FI-forhold) = 0.

Hvis en hvilken som helst forbundet komponent af G har et toppunkt med værdi 3, så kan vi gøre Jacobi-diagrammet til et akkorddiagram ved rekursivt at anvende STU-relationen. Hvis vi begrænser os til akkorddiagrammer, så reduceres de fire relationer ovenfor til følgende to relationer:

(Fireledsrelation) − + − = 0. (FI-forhold) = 0.

Bemærk: Flere kanter og hængeløkker er tilladt i Jacobi-diagrammer [12] .

Egenskaber

Tager man det aritmetiske middelværdi over alle måder at lime Wilson-løkken til univalente hjørner på, kan ethvert Jacobi-diagram omdannes til en lineær kombination af Feynman-diagrammer [11] .

Det er mere bekvemt at arbejde med Jacobi-diagrammer end med Feynman-diagrammer, da der ud over den generelle gradering med halvdelen af antallet af hjørner er to yderligere graderinger: efter antallet af forbundne komponenter og efter antallet af univalente hjørner [13 ] .

Graden eller rækkefølgen af et Jacobi-diagram er defineret som halvdelen af summen af tallene på dets hjørner. Dette tal er altid et heltal og er lig med antallet af akkorder i akkorddiagrammet opnået fra Jacobi-diagrammet [12] .
Som væv danner Jacobi-diagrammer en monoidal kategori . Sammensætning og tensorprodukt af morfismer er defineret ved "box stacking"-metoden:

Med andre ord er et tensorprodukt af morfismer en usammenhængende forening, og en sammensætning er en limning af de tilsvarende dele af grænsen [14] .

- I det specielle tilfælde, hvor X er et interval af I , vil A ( X ) være en kommutativ algebra. Hvis man betragter A ( S 1 ) som en algebra med multiplikation defineret som en forbundet sum , er A ( S 1 ) isomorf til A ( I ) .
Jacobi-diagrammet kan ses som en abstraktion af repræsentationen af en tensoralgebra genereret af Lie-algebraer, som giver os mulighed for at definere nogle operationer, der er analoge med coprodukter, counts og antipoder af Hopf-algebraer .
Da Vassiliev invarianter (finite type invarianter) er tæt beslægtet med akkorddiagrammer, kan man konstruere en ental knude ud fra et akkorddiagram G på S 1 . K n betegner rummet dannet af alle ental knob af grad n , hver sådan G definerer et unikt element i K m / K m +1 .

Vægtsystem

Kortlægningen fra Jacobi-diagrammer til positive tal kaldes et vægtsystem . En mapping udvidet til A ( X ) kaldes også et vægtsystem. Systemer har følgende egenskaber:

Lad g være en halvsimpel Lie-algebra og ρ dens repræsentation. Vi opnår et vægtsystem ved at "substituere" den invariante tensor g i akkorden i Jacobi-diagrammet og ρ i basismanifold X i Jacobi-diagrammet.
- Vi kan betragte trivalente hjørner af Jacobi-diagrammer som et parentesprodukt af Lie-algebraen, pile på en ubrudt linje som en repræsentation af rummet
ρ , og univalente knudepunkter som handlinger af Lie-algebraen.
IHX-relationen og STU-relationen svarer til henholdsvis Jacobi-identiteten og definitionen af repræsentationen

ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v − ρ ( b ) ρ ( a ) v .

Vægtsystemet spiller en væsentlig rolle i beviset for Mervin-Morton-formodningen [15] , som etablerer en forbindelse mellem Alexander -polynomier og Jones-polynomier .

Historie

Jacobi-diagrammer blev introduceret i analogi med Feynman-diagrammer, da Kontsevich definerede knudeinvarianter i form af multiple integraler i første halvdel af 1990'erne [16] . Han repræsenterede enkeltpunkter som akkorder, så han arbejdede kun med akkorddiagrammer. D. Bar-Nathan formulerede dem senere som en- og trevalente grafer, studerede deres algebraiske egenskaber og kaldte dem "kinesiske tegndiagrammer" i sin artikel [17] . Forskellige udtryk er blevet brugt til at referere til disse diagrammer, herunder "akkorddiagrammer" og "Feynman-diagrammer", men siden omkring 2000 er de blevet kaldt Jacobi-diagrammer, da IHX-relationen svarer til Jacobi-identiteten for Lie-algebraer .

Noter

↑ Chmutov, Duzhi, 2012 .
↑ Kontsevich, 1993 , s. 137.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , s. 101.
↑ Duzhin, 2011 , s. 26.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , s. 102.
↑ Duzhin, 2010 , s. 104.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, Rozansky, Thurston, 2000 , s. 217-237.
↑ Bar-Natan, Le, Thurston, 2003 , s. 1-31.
↑ Duzhin, 2010 , s. 105.
↑ Duzhin, 2010 , s. 100.
↑ 1 2 3 Duzhin, 2010 , s. 107.
↑ 1 2 Chmutov, Duzhin, Mostovoy, 2012 , s. 127.
↑ Duzhin, 2010 , s. 108.
↑ Rumænsk, 2013 , s. 1128-1149.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, 1996 , s. 103-133.
↑ Kontsevich, 1993 , s. 137-150.
↑ Bar-Natan, 1995 , s. 423-472.

Litteratur

Sergei Vasilievich Duzhin. KOMBINATORISKE ASPEKTER AF TEORIEN OM VASIL'EV INVARIANTER. - St. Petersborg, 2011. - (afhandling).
D. A. Rumynin. Lie algebraer i symmetriske monoide kategorier // Sib. matematik. journal .. - 2013. - T. 54 , no. 5 .
S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy. Introduktion til Vassiliev Knot Invariants (aka CDBooK) . - Cambridge University Press, 2012. - ISBN 978-1-107-02083-2 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis. Om Melvin-Morton-Rozansky-formodningen // Inventiones Mathematicae. - 1996. - Udgave. 125 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozansky, D. Thurston. Wheels, wheeling, and the unknots Kontsevich-integral // Israel Journal of Mathematics .. - 2000. - T. 119 . - arXiv : q-alg/9703025 .
D. Bar-Natan, TQT Le,D. P Thurston. To anvendelser af elementær knudeteori på Lie-algebraer og Vassiliev-invarianter // Geometry and Topology.. - 2003. - Vol . 7(1) .
S.V. Duzhin. Vasiliev-Gusarov invarianter // Matematik i det 20. århundrede. Udsigt fra St. Petersborg / A.M. Vershik. - Moskva: MTSNMO, 2010. - S. 87 -116. — ISBN 978-5-94057-586-3 .
Sergei Chmutov, Sergei Duzhi. Kontsevich Integral // Mathworld / Eric W. Weisstein. — Wolfram Web Resource, 2012.
D. Bar-Natan. På Vassiliev-knudens invarianter // Topologi. - 1995. - T. 34 . - S. 423-472 .
Maxim Kontsevich. Vassilievs knudeinvarianter // Adv. sovjetisk matematik. - 1993. - T. 16 , no. 2 . - S. 137 .
Tomotada Ohtsuki. Kvanteinvarianter – En undersøgelse af knob, 3-manifolder og deres sæt . - 2001. - ISBN 9789810246754 .