Kontsevich-invarianten , (eller Kontsevich-integralet [1] ) er en invariant af et orienteret indrammet led af en bestemt type. Det er en universel Vasiliev-invariant [2] i den forstand, at hver koefficient af Kontsevich- invarianten er en invariant af finit type , og omvendt kan enhver finit type invariant repræsenteres som en lineær kombination af sådanne koefficienter. Det er en vidtgående generalisering af en simpel integralformel for linknummeret [3] .
Invarianten blev defineret af Maxim Lvovich Kontsevich i 1992 i beviset for Vasiliev-Kontsevich-sætningen.
Kontsevich-invarianten er en universel kvante-invariant i den forstand, at enhver kvante-invariant kan opnås ved at erstatte et passende vægtsystem i Jacobi-diagrammet .
Kontsevich-invarianten er defineret som monodromien af Knizhnik-Zamolodchikov-forbindelsen foruden foreningen af diagonale hyperplaner i C n [4] .
Lad os repræsentere det tredimensionelle rum som et direkte produkt af en kompleks linje med koordinat z og en reel linje med koordinat t . Lad os indlejre linket i rummet , så koordinaten t er en morsefunktion på L . Dette betyder, at på alle punkter, hvor t som funktion af en parameter på kurven har en nul-afledt, bør dens anden afledede ikke forsvinde, og værdierne af t på alle sådanne punkter (kritiske værdier) bør være forskellige fra hinanden [5] . Det viser sig, at koblingstallet derefter kan beregnes ved hjælp af følgende formel:
Det (originale) Kontsevich-integral af knude K er det næste element i færdiggørelsen af algebraen af akkorddiagrammer [5] :
For en forklaring af denne formel, se artiklen af S. V. Duzhin . Hvis vi med H betegner en triviel knude, hvis indlejring i rummet giver to maksima og to minima, får vi [6] :
,hvor c er antallet af kritiske punkter for funktionen t på K .
Det kan vises, at integralet for det første konvergerer for enhver knude, der er placeret i rummet på den ovenfor angivne måde, og for det andet ikke ændres for glatte isotoper af knuden, for hvilke antallet af kritiske punkter i funktionen t er bevaret . Da knudepunktet er en lukket kurve, kan kritiske punkter kun vises og forsvinde i par.
kaldes det endelige Kontsevich-integral
Kontsevich-integralet er et ret komplekst objekt, og i flere år var ingen i stand til at beregne det endelige Kontsevich-integral selv for en triviel knude. Kun koefficienterne for nogle akkorddiagrammer i en uendelig sum var kendt.
I 1997 fremkom formodningen fra D. Bar-Nathan et al . [7] (bevist i 1998 [8] ), at [9]
,her er O en ikke-knude (cirkel) svarende til H, er modificerede Bernoulli tal, og er hjul , dvs. diagrammer i form af en cirkel med radiale segmenter. Hjulprodukter forstås som en usammenhængende forening af diagrammer, og selve hjulene fortolkes som lineære kombinationer af Feynman-diagrammer (se nedenfor).
Et Feynman-diagram af grad n er en forbundet trivalent graf med 2n toppunkter, hvori der skelnes mellem en orienteret cyklus, kaldet en Wilson-løkke [10] . Akkorddiagrammet er et specialtilfælde af Feynman-diagrammer (de har alle trivalente hjørner liggende på Wilson-løkken). Graden af et Feynman-diagram er halvdelen af det samlede antal hjørner i grafen. Et Feynman-diagram kaldes forbundet , hvis den tilsvarende graf forbliver forbundet efter at have kasseret Wilson-løkken [3] .
Lad X være en cirkel (som er en 1-dimensionel manifold og vil tjene som en Wilson-løkke ). Som vist på figuren til højre er Jacobi-diagrammet af orden n en graf med 2n toppunkter, hvor den ydre cirkel (Wilsons løkke) er repræsenteret af en fuldt optrukket linje, og de stiplede linjer kaldes den indre graf, hvilket opfylder følgende betingelser:
Hjørner med en værdi på 1 kaldes ofte univalente, og dem med en værdi på 3 kaldes trivalente [11] . Univalente hjørner er forbundet med den ydre cirkel uden multiplicitet og ordnet efter cirklens orientering. Jacobi-diagrammet kan afbrydes, og det kræves, at hver tilsluttet komponent har mindst ét univalent vertex [11] . Kanter på G kaldes akkorder . Vi betegner med A ( X ) kvotientrummet for den kommutative gruppe dannet af alle Jacobi-diagrammer på X ved følgende relationer:
(AS-forhold) + = 0 (IHX relation) = − (STU relation) = − (FI-forhold) = 0.Hvis en hvilken som helst forbundet komponent af G har et toppunkt med værdi 3, så kan vi gøre Jacobi-diagrammet til et akkorddiagram ved rekursivt at anvende STU-relationen. Hvis vi begrænser os til akkorddiagrammer, så reduceres de fire relationer ovenfor til følgende to relationer:
(Fireledsrelation) − + − = 0. (FI-forhold) = 0.Bemærk: Flere kanter og hængeløkker er tilladt i Jacobi-diagrammer [12] .
Tager man det aritmetiske middelværdi over alle måder at lime Wilson-løkken til univalente hjørner på, kan ethvert Jacobi-diagram omdannes til en lineær kombination af Feynman-diagrammer [11] .
Det er mere bekvemt at arbejde med Jacobi-diagrammer end med Feynman-diagrammer, da der ud over den generelle gradering med halvdelen af antallet af hjørner er to yderligere graderinger: efter antallet af forbundne komponenter og efter antallet af univalente hjørner [13 ] .
Med andre ord er et tensorprodukt af morfismer en usammenhængende forening, og en sammensætning er en limning af de tilsvarende dele af grænsen [14] .
Kortlægningen fra Jacobi-diagrammer til positive tal kaldes et vægtsystem . En mapping udvidet til A ( X ) kaldes også et vægtsystem. Systemer har følgende egenskaber:
Jacobi-diagrammer blev introduceret i analogi med Feynman-diagrammer, da Kontsevich definerede knudeinvarianter i form af multiple integraler i første halvdel af 1990'erne [16] . Han repræsenterede enkeltpunkter som akkorder, så han arbejdede kun med akkorddiagrammer. D. Bar-Nathan formulerede dem senere som en- og trevalente grafer, studerede deres algebraiske egenskaber og kaldte dem "kinesiske tegndiagrammer" i sin artikel [17] . Forskellige udtryk er blevet brugt til at referere til disse diagrammer, herunder "akkorddiagrammer" og "Feynman-diagrammer", men siden omkring 2000 er de blevet kaldt Jacobi-diagrammer, da IHX-relationen svarer til Jacobi-identiteten for Lie-algebraer .