Dirichlet problem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. maj 2019; checks kræver 5 redigeringer .

Dirichlet-problemet er en type problem, der opstår, når man løser andenordens partielle differentialligninger . Opkaldt efter Peter Gustav Dirichlet .

Udtalelse af problemet

Dirichlet-problemet er opstillet som følger: lad ligningen $\Omega$

\Delta u=0.

hvor er Laplace-operatøren . Med grænsebetingelser : $\Delta$

{\Bigl .}u{\Bigr |}_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} ).

Et sådant problem kaldes det interne Dirichlet-problem eller det første grænseværdiproblem . Selve forholdene kaldes Dirichlet-betingelser eller første randbetingelser . Det andet navn kan fortolkes bredere, hvilket betegner ethvert problem med at løse en differentialligning, når værdien af den ønskede funktion er kendt på hele grænsen af regionen. I det tilfælde, hvor det er nødvendigt at finde værdierne af funktionen uden for regionen , kaldes problemet det eksterne Dirichlet-problem . $\Omega$

Beslægtede teoremer

Sætning.
Løsningen på Dirichlet-problemet, intern eller ekstern, er unik [1]

Analytisk løsning

Analytisk kan Dirichlet-problemet løses ved hjælp af potentialteori . Løsningen af en homogen ligning kan repræsenteres som [1] :

u(\mathbf {y} )=\int _{\partial \Omega }{g(\mathbf {x} ){\frac {\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ) }{\partial n}}dx},

hvor er den grønnes funktion for Laplace-operatøren i domænet . $G(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\Omega$

Numerisk løsning

Konstruktionen af et analytisk udtryk for den grønnes funktion i komplekse domæner kan være vanskelig, så numeriske metoder skal bruges til at løse sådanne problemer. Hver metode har sine egne ejendommeligheder ved at tage hensyn til de første grænsebetingelser:

i den endelige differensmetode for knudepunkter på grænsen af regionen skrives ligningen , hvor er nummeret på den tilsvarende knude; $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$ $jeg$
i finite element-metoden kaldes sådanne grænsebetingelser hovedgrænsebetingelserne, og de tages i betragtning på stadiet af matrixsamling; for alle vægte, der er knyttet til grænsen, erstattes ligningerne med ligninger af formen ; derefter udføres flere trin af Gauss-metoden , så den resulterende matrix er symmetrisk [2] . $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$

Fysisk fortolkning

Den fysiske fortolkning af Dirichlet-betingelserne er adfærden af den ønskede mængde på grænsen:

temperatur, hvis ligningen for varmeledning tages i betragtning ;
hastighedsfelter, hvis Stokes-ligningen tages i betragtning ;
magnetisk eller elektrisk felt, hvis en ligning opnået fra Maxwells ligninger overvejes (så kaldes grænsebetingelserne henholdsvis magnetiske eller elektriske grænsebetingelser ).

Se også

Noter

↑ 1 2 M. M. Smirnov. Anden ordens partielle differentialligninger. - Moskva: Nauka, 1964. .
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Finite element-metode til skalar- og vektorproblemer. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner