Nodegruppe
En knudegruppe er en egenskab ved en knude, defineret som den grundlæggende gruppe af dens komplement.
Definition
Lad der være en node. Så defineres knudeknudegruppen som den fundamentale gruppe . [1] .
Kommentar
Andre konventioner behandler knuden som en indlejring af en cirkel i en 3-kugle . I dette tilfælde er knudegruppen defineret som den grundlæggende gruppe af dens komplement i . Begge definitioner giver isomorfe grupper.
Egenskaber
- To ækvivalente knob har isomorfe knudegrupper, så knudegruppen er en knudeinvariant og kan bruges til at fastslå, at et knudepar ikke er ækvivalent. To ikke-ækvivalente knob kan dog have isomorfe knudegrupper (se eksempel nedenfor).
- Abelisering af en knudegruppe er altid isomorf til en uendelig cyklisk gruppe . Dette følger af, at abeliseringen falder sammen med den første homologigruppe , som er let at beregne.
- Knudegruppen (såvel som den grundlæggende gruppe af orienterede links generelt) kan beregnes med forholdsvis simple algoritmer ved hjælp af Wirtinger-repræsentationen .
Eksempler
- Den trivielle knudegruppe er isomorf .
- Det omvendte er også sandt.
- Trefoil - gruppen er isomorf for flettegruppen , denne gruppe har en opgave : eller .
- Gruppen - torusknude har opgaven: .
- Gruppen på otte har opgaven: .
- Den lige knude og kvindens knude har isomorfe knudegrupper, men disse knuder er ikke ækvivalente.
Se også
- Geargruppe
Noter
- ↑ Boltyansky, 1982 , s. 119.
Litteratur
- Knob og links til en gruppe - artikel fra Encyclopedia of Mathematics
- Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuel topologi. — M .: Nauka, 1982. — 160 s.