Moderne matematik studerer abstrakte strukturer af en helt anden karakter (mængder, udsagn, logiske sprog, funktioner), men dens hovedobjekt for undersøgelsen var oprindeligt begreberne om et naturligt tal og en geometrisk figur , der opstod fra menneskelig praktisk aktivitet [1] .
Og selvom det menes, at matematik , som en systematisk videnskab , kun dukkede op i det antikke Grækenland [2] , begynder dens historie med fremkomsten af disse begreber.
Begreberne om et naturligt tal og en geometrisk figur opstod længe før skriftens fremkomst, eftersom de kulturer, hvor skrift først optrådte ( Sumer , Det gamle Egypten ) havde en ret omfattende samling af matematisk viden opnået ved erfaring [3] .
Allerede nogle dyr har evnen til at skelne antallet , størrelsen , formen og strukturen af objekter [4] . Det primitive menneske besad også sådanne evner. For eksempel er folk fra nogle vilde stammer meget gode til at bestemme antallet af genstande pr. øje uden at tælle dem [5] .
I forbindelse med teknologiske fremskridt opstod et behov for en mere præcis optælling af objekter [6] . Det første trin i udviklingen af optælling var etableringen af en en-til-en-korrespondance mellem sættet af talte objekter og sættet af standarder. Den mest populære type af en sådan konto er kontoen ved hjælp af fingre og tæer [7] .
På et tidspunkt blev antallet opfattet som en egenskab ved et sæt af objekter, det samme som deres farve, form, størrelse, struktur [8] . Forskellige tal blev brugt til forskellige objekter [9] . Men efterhånden blev antallet abstraheret fra de talte genstande. Navne til numre dukkede op [10] .
Aritmetiske operationer opstod også fra praktiske behov, som en afspejling af virkelige begivenheder: foreningen af sæt, adskillelsen af en del fra et sæt osv.
Omtrent samtidig med tal abstraherede mennesket flade og rumlige former, som normalt modtog navnene på rigtige objekter, der ligner dem [10] .
Ikke alle kulturer gør videnskabelige og teknologiske fremskridt i samme takt. Nogle har til en vis grad bevaret stammesystemet og gamle skikke, hvorved man kan bedømme deres fjerne fortid og få information om den æra, hvor skriften endnu ikke eksisterede. For eksempel kan man sammenligne Bakairi-stammens talsystem i Brasilien, som kun har navne for tal op til 6, og Yoruba-stammens talsystem i Nigeria, som er baseret på et komplekst subtraktivt princip, og dermed forstå hvordan måden at navngive tal på udviklede sig.
Europæiske kolonisatorer var ofte i stand til at behandle sådanne kulturer på en barbarisk måde uden respekt for deres traditioner. Mange blev ødelagt, andre måtte integreres i det eksisterende politiske og økonomiske system. Da videnskabsmænd efterhånden indså, at sådanne kulturer kunne give rigt materiale til at studere den primitive verdens historie, var nogle af dem allerede forsvundet.[ neutralitet? ] .
I slutningen af det tyvende århundrede en gren af videnskaben dukkede op - etnomatematik , der studerede matematik som en del af traditionel kultur [11] . Undersøgelser begynder at blive udført, i løbet af hvilke det bliver kendt, hvordan de tror, viser, navngiver og registrerer antallet af primitive folk.
Visse oplysninger kommer fra arkæologiske udgravninger. En knogle med tællelige hak blev fundet på Ishango- stedet i Afrika , hvis alder er anslået fra 20 til 40 tusinder af år, hvilket gav omfattende materiale til undersøgelse og konklusioner [12] . En anden artefakt - en radiusknogle af en ung ulv med 55 hak på - blev fundet på det øvre palæolitiske sted i Dolni Vestonice (Tjekkiet). Mikel Alberti giver i sin bog "Mathematical Planet. Journey Around the World" eksempler på andre artefakter [13] .
Hvis vi systematiserer den viden opnået som et resultat af etno-matematisk og arkæologisk forskning, kan vi omtrent genskabe processen med matematikkens fremkomst. .
En række forsøg viser, at dyr i en vis forstand kan mærke antallet af genstande uden at tælle dem. Den engelske biolog John Lubbock mente, at dyr allerede havde en grundlæggende viden om aritmetik:
Leroy <...> nævner et tilfælde, hvor en mand havde brug for at skyde en krage. "For at vildlede denne mistænkelige fugl blev det besluttet at sende to personer til hendes rede, hvoraf den ene ville gå forbi, og den anden ville blive. Men kragen talte dem og holdt afstand. Dagen efter gik tre, og igen hun indså, at der kun var to tilbage. Det viste sig, at det var nødvendigt at sende fem eller seks personer for at slå hende i beregningerne. Kragen, der troede, at alle var gået forbi, spildte ingen tid på at vende tilbage til reden." Heraf udleder han, at kragen kan tælle til fire. Lichtenberg taler om en nattergal, der talte til tre. Hver dag gav han ham tre orme, en ad gangen. Efter at have afsluttet en, vendte nattergalen tilbage efter en anden, men efter den tredje vidste han, at middagen var forbi <...> Der er en morsom og suggestiv detalje i Mr. Galtons Tales of an Explorer of Tropical South Africa . Efter at have beskrevet den afrikanske Demara-stammes svaghed i at tælle, siger han: "Engang, da jeg så en afrikaner håbløst forsøge at tælle noget, lagde jeg mærke til, at Dinah, min spaniel, i nærheden, også undrede sig; Dinah var ved siden af et halvt dusin af hendes nyfødte. hvalpe, som hele tiden var på vej væk fra hende, hun var meget bekymret og forsøgte at finde ud af, om de alle var der, eller om der var nogen, hun så forundret på dem, men kunne ikke forstå noget. Hun havde åbenbart en vag idé om tællingen, men her var tallet for stort til hendes hjerne. Hvis vi sammenligner de to, en mand og en hund, så er manden dårligere stillet<...> "<... > Vi har således grund til at antage, at dyr har intelligens nok til at skelne tre fra fire [4] .
Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] Leroy<...>omtaler en sag, hvor en mand var ivrig efter at skyde en krage. "For at bedrage denne mistænkelige fugl blev planen ramt ved at sende to mænd til vagthuset, hvoraf den ene gik videre, mens den anden blev; men kragen talte og holdt sig på afstand. Den næste dag gik tre, og igen fornemmede hun at kun to gik på pension. I fineste tilfælde blev det fundet nødvendigt at sende fem eller seks mænd til vagthuset for at sætte hende ud i hendes beregning. Kragen, der troede, at dette antal mænd var gået forbi, mistede ingen tid på at vende tilbage." Heraf udledte han, at krager kunne tælle op til fire. Lichtenberg nævner en nattergal, som siges at tælle op til tre. Hver dag gav han den tre melorme, en ad gangen. Da den var færdig med en, vendte den tilbage til en anden, men efter den tredje vidste den, at gildet var forbi<...>Der er en morsom og suggestiv bemærkning i Hr. Galtons interessante fortælling om en opdagelsesrejsende i det tropiske Sydafrika. Efter at have beskrevet Demaraens svaghed i beregninger, siger han: "Engang, mens jeg så en Demara, der svævede håbløst i en beregning på den ene side af mig, observerede jeg: "Dinah," min spaniel, lige så flov på den anden; hun overså en halv dusin af hendes nyfødte hvalpe, som var blevet fjernet to eller tre gange fra hende, og hendes angst var overdreven, da hun forsøgte at finde ud af, om de alle var tilstede, eller om der stadig manglede nogle øjne over dem frem og tilbage , men kunne ikke tilfredsstille sig selv. Hun havde åbenbart en vag forestilling om at tælle, men tallet var for stort til hendes hjerne. manden<...>" Ifølge mine fugle-rede-erindringer, som jeg har genopfrisket af nyere erfaringer , hvis en rede indeholder fire æg, kan et sikkert tages; men hvis to fjernes, forlader fuglen almindeligvis. Her ser det altså ud, som om vi havde en eller anden grund til at antage, at der er tilstrækkelig intelligens til at skelne tre fra fire.Primitive mennesker arvede denne evne. Så ifølge en amerikansk missionærs erindringer ser jægere fra en vild indianerstamme, som kun har navne for tallene 1, 2 og 3, sig omkring i en stor flok hunde, før de jager, og hvis mindst én mangler, de bemærker det og begynder at ringe til hende. Dette fænomen er kendt som " talsans " [5] og " sensorisk tælling " [14] .
På mange sprog forblev navnene på tal, som ifølge forskere dukkede op allerede før man tæller på fingre [15] . Disse navne er forbundet med viden om, at der altid er det samme antal bestemte objekter i naturen (en sol på himlen, to øjne i en person, fem fingre på en hånd osv.). Nogle numre begyndte at blive kaldt navnene på sådanne objekter. Så i det gamle indiske verbale talsystem møder vi følgende navne på tal:
Tallet 40 (ifølge den mest almindelige version) kommer fra navnet på et bundt pelsskind [16] .
Hvis der er et sæt med otte sten og et sæt med otte skaller, kan du arrangere dem, så der er en skal overfor hver sten. Sådan foregik handelsprocessen mellem de to primitive stammer. Overfor hvert produkt fra den første stamme blev et produkt fra den anden stamme placeret, og som et resultat udvekslede stammerne den samme mængde varer med hinanden [17] .
En sådan proces, når hvert element fra en mængde (samling) er forbundet med et element fra en anden mængde, kaldes i matematikken etableringen af en en-til-en korrespondance mellem to mængder [18] .
Med etableringen af en en-til-en-korrespondance mellem sættet af tællelige objekter og sættet af tællestandarder, begyndte det næste trin i udviklingen af optælling.
Af alle tællestandarder er den mest bekvemme og "altid med dig" fingre og tæer og endda andre dele af kroppen [15] .
For at huske, hvor mange dyr han dræbte under jagt, skulle en primitiv mand blot huske på hvilken finger eller tå han holdt op med at tælle. Det kan være den anden tå på den anden fod, den sidste tå på den første hånd eller alle fingre. På nogle sprog er numre blevet såkaldt. Her er nogle eksempler:
Når der ikke var fingre nok, blev andre dele af kroppen brugt, andre menneskers fingre eller forlængelse af allerede bøjede fingre.
Udforskeren af Ny Guinea , N. N. Miklukho-Maclay , foreslog, at papuanerne tæller antallet af dage, indtil Vityaz-korvetten vender tilbage ved at skære papirstrimler til dette.
"Den første, der lagde stykker papir ud på sit knæ, gentog "nare, nare" (en) med hvert snit; den anden gentog ordet "nare" og bøjede samtidig sin finger først på den ene, så på den anden hånd. Tælle til ti og bøje fingrene på begge hænder, sænkede begge næver på knæene og sagde: ... "to hænder", og den tredje papuan bøjede håndens finger. Det samme blev gjort med de anden ti, og den tredje papuaner bøjede den anden finger, det samme blev gjort for den tredje ti, de resterende stykker papir udgjorde ikke det fjerde et dusin og blev ved med at ligge til side. [21]
Ofte bar primitive mennesker specielle tællestandarder med sig - pinde eller bolde [22] .
Da tællekunsten gradvist udviklede sig, var talbegrebet uadskilleligt fra de talte genstande. Nummeret kunne ikke eksistere alene. Afhængigt af hvad man overvejede, kunne tallene kaldes forskelligt [10] . Nogle stammer har den dag i dag en opdeling af tal efter den type objekter, der tages i betragtning. For eksempel har det tsimshianske sprog syv forskellige typer tal:
Det tog lang tid, før selve talbegrebet, adskilt fra objekter, dukkede op.
Teoretisk set kan et hvilket som helst antal objekter tælles. Deres antal kan udtrykkes med et tal, der aldrig er set før (for eksempel 723.945.186 - syv hundrede og treogtyve millioner ni hundrede femogfyrre tusind et hundrede og seksogfirs), men ikke desto mindre vil det være muligt for en person hvem hører dette tal for at forestille sig, hvor meget det er cirka. Der er ingen grænse for antallet af varer, der kan tælles. For ethvert heltal af objekter er der et veldefineret naturligt tal. Dette fænomen kaldes en kontinuerlig talrække .
Imidlertid var den numeriske rækkefølge i sproget ikke altid kontinuerlig . Indtil nu er der stammer på hvis sprog der kun er to tal: en og mange . Niveauet af deres liv kræver ikke andre numeriske ord. Men på grund af den teknologiske udvikling bliver disse ord nødvendige.
Fremkomsten af et ord for tallet to er et stort skridt i udviklingen af den numeriske rækkefølge. Efter fremkomsten af ordet for tallet tre udvides den numeriske rækkefølge yderligere og længere. Navne for tal mindre end ti vises gradvist .
Indtil for få århundreder siden behøvede de fleste mennesker ikke at bruge tal over tusind . For at betegne store tal blev ordene "monster", "uendelighed", "du kan ikke tælle mere" brugt. Så præfikset "-tera", der angiver multiplikationen af den oprindelige enhed med 10 12 , dvs. med en billion (for eksempel terabyte) kommer fra det romerske ord "monster", dvs. er den samme rod som ordet " terror". Det gamle russiske navn for tallet 10.000 er mørke . Navnet på tallet million betyder på gammel italiensk "stort tusind".
På det rwandiske sprog kaldes 10.000 "elefanter" og 20.000 kaldes "to elefanter". I Nigeria kaldes tallet 160.000 "400 møder 400", og navnet på tallet 10.000.000 kan groft oversættes til "Der er så mange ting her, at deres antal er enormt" [24] .
Ligheden mellem tal mellem forskellige indoeuropæiske folk viser, at de dukkede op, selv når disse folk talte det samme sprog, dvs. refererer til den forhistoriske periode:
| Nummer | latin | græsk | engelsk | Deutsch | fransk | Russisk |
|---|---|---|---|---|---|---|
| en | uno | mono | en | ein | un | en |
| 2 | duo | dia | to | zwei | deux | to |
Der er sprog, der er fuldstændig (eller næsten fuldstændigt) blottet for nogen tal. I den amerikanske matematiker Levi Konents arbejde er sprogene fra de bolivianske stammer Chiquita og Takana givet som eksempler [25] .
I videnskaben får de tal, der ligger til grund for andres navne navnet " nodal ". Tal, hvis navne består af andre, får navnet " algoritmisk " [26] . Så tallene tre, seks, ti, fyrre, hundrede er vigtige, da deres navne ikke kan skilles ad ved sammensætning. Tallet tres er algoritmisk, da dets navn består af navnene på knudetallene seks og ti. Algoritmiske tal kan dannes ud fra nodenumre på forskellige måder. Det følgende er eksempler på sådanne formationer.
Additiv principDe første talsystemer brugte additivprincippet . Det ligger i det faktum, at navnene på algoritmiske tal er dannet ud fra nodaltal ved addition , ligesom navnet på tallet sytten . Tabellen viser som et eksempel nummersystemet for Gumulgel-stammen, der bor på Torres Strait -øerne og Bakairi-stammen.
| Gumulgel-stammens talsystem | Nummersystem af Bakairi-stammen | |||
|---|---|---|---|---|
| Nummer | Navn | Nummer | Navn | |
| en | Urapun | en | tokale | |
| 2 | Okoza | 2 | ahage | |
| 3 | Okoza-urapun | 3 | ahage-tokale | |
| fire | Okoz-okoz | fire | ahage-ahage | |
| 5 | Okoza-okoza-urapun | 5 | ahage-ahage-tokale | |
| 6 | Okoz-okoz-okoz | 6 | Ahage-ahage-ahage | |
Som du kan se, har kun tallene 1 og 2 deres egne navne, resten af tallene har afledte navne. For tal større end 7 har disse stammer kun ét ord, hvilket betyder mange.
Subtraktiv principMere komplekse numeriske systemer brugte også det subtraktive princip. Det betyder, at navnene på nogle algoritmiske tal kunne dannes ud fra nodaltal ved subtraktion .
Subtraktionsprincippet ses for eksempel i det romerske nummersystem, hvor tallet 9 skrives som IX , altså som 10-1. Et ret komplekst subtraktivt talsystem med basis 20 blev brugt af den afrikanske Yoruba -stamme :
| Yoruba-folkets talsystem | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nummer | Navn | Navneafkodning | Nummer | Navn | Navneafkodning | |
| en | kan | en | 31 | mokonlel ogbon | +1+30 | |
| 2 | meji | 2 | 32 | mejilel ogbon | +2+30 | |
| 3 | meta | 3 | 33 | metal ogbon | +3+30 | |
| fire | merin | fire | 34 | merinlel ogbon | +4+30 | |
| 5 | maruun | 5 | 35 | maruundinl ogoji | -5+20×2 | |
| 6 | mefa | 6 | 36 | merindinl ogoji | -4+20×2 | |
| 7 | meje | 7 | 37 | metadinl ogoji | -3+20×2 | |
| otte | mejo | otte | 38 | mejidinl ogoji | -2+20×2 | |
| 9 | mesan | 9 | 39 | mokondinl ogoji | -1+20×2 | |
| ti | mewa | ti | 40 | ogoji | 20x2 | |
| elleve | mokon laa | +1+10 | 41 | mokonl ogoji | +1+20×2 | |
| 12 | meji laa | +2+10 | 42 | mejil ogoji | +2+20×2 | |
| 13 | meta laa | +3+10 | 43 | metal ogoji | +3+20×2 | |
| fjorten | merin laa | +4+10 | 44 | merinl ogoji | +4+20×2 | |
| femten | meeed ogun | -5+20 | 45 | maruundinla adota | -5-10+20×3 | |
| 16 | merindinl ogun | -4+20 | 46 | merindinla adota | -4-10+20×3 | |
| 17 | metadinl ogun | -3+20 | 47 | metadinla adota | -3-10+20×3 | |
| atten | mejidinl ogun | -2+20 | 48 | mejidinla adota | -2-10+20×3 | |
| 19 | mokondinl ogun | -1+20 | 49 | mokondinla adota | -1-10+20×3 | |
| tyve | ogun | tyve | halvtreds | adota | -10+20×3 | |
| 21 | mokonlel ogun | +1+20 | 51 | mokonlela adota | +1-10+20×3 | |
| 22 | mejilel ogun | +2+20 | 52 | mejila adota | +2-10+20×3 | |
| 23 | metal ogun | +3+20 | 53 | metala adota | +3-10+20-×3 | |
| 24 | merinel ogun | +4+20 | 54 | merinla adota | +4-10+20×3 | |
| 25 | meeed ogbon | -5+30 | 55 | maruundinlogota | -5+20×3 | |
| 26 | Merindinl ogbon | -4+30 | Kilde: Dirk Huylebrouck. Matematik i det centrale Afrika før koloniseringen. Stammematematik i Centralafrika . Arkiveret 7. februar 2012 på Wayback Machine | |||
| 27 | metadinl ogbon | -3+30 | ||||
| 28 | mejidinl ogbon | -2+30 | ||||
| 29 | mokondinl ogbon | -1+30 | ||||
| tredive | ogbon | tredive | ||||
Multiplikationsprincippet ligger i, at navnene på nogle algoritmiske tal kan dannes ud fra nodaltal gennem multiplikation . Det er synligt i navnene på sådanne tal som "halvfjerds", "tre hundrede", "fire hundrede" osv.
For at tælle skal du have matematiske modeller af så vigtige begivenheder som foreningen af flere sæt i et eller omvendt adskillelsen af en del af et sæt. Sådan fremstod operationerne med addition og derefter subtraktion [27] . For det tilfælde, hvor du mange gange skal tilføje flere identiske sæt, vises en ny operation - multiplikation [28] .
En anden vigtig praktisk handling - opdeling i dele - blev til sidst abstraheret til den fjerde regneoperation - division [29] . Egenskaberne ved aritmetiske operationer blev opdaget gradvist.
Et stort "push" til brugen af aritmetiske operationer var udviklingen af målinger . Måleenheder var primært forbundet med dele af kroppen, som det var nemt at tage dem med (mål) ( fod (ben), albue osv.).
Begrebet en brøk eksisterede som sådan ikke selv efter skriftens fremkomst. Men i hverdagen blev begreberne " halv ", " tredje ", " kvart " brugt. Sådanne "brøker" af brøker havde normalt en nævner på 2, 3, 4, 8 eller 12. For eksempel blandt romerne var standardbrøken en ounce ( 1/12 ) . Middelalderlige penge- og målesystemer bærer et tydeligt præg af gamle ikke-decimalsystemer: 1 engelsk penny \u003d 1/12 shilling , 1 tomme \u003d 1/12 fod , 1 fod \u003d 1/3 yard , dusin \u003d 12 enheder, osv. Decimalbrøker , praktisk i komplekse beregninger, blev først udbredt i Europa i det 16. århundrede [30] .
I sin praktiske aktivitet stødte en person på specifikke geometriske former og kroppe. Gradvist fandt deres idealisering sted - folk abstraherede fra defekter af specifikke objekter og skabte ideelle ideer. Sådan opstod begreberne regulære polygoner og polyedre, pyramider, prismer og revolutionslegemer. De fleste af de almindelige navne for geometriske figurer er oldgræske [20] .
Oprindelsen af navnene på geometriske objekter| koncept | navnets oprindelse |
|---|---|
| rombe | fra oldgræsk ρόμβος - snurretop |
| trapez | fra oldgræsk τραπέζιον - tabel |
| kugle | fra oldgræsk σφαῖρα - bold |
| cylinder | fra oldgræsk κύλινδρος - rulle |
| kegle | fra oldgræsk κώνος - fyrrekogle |
| pyramide | fra navnet på de egyptiske pyramider "Purama" |
| prisme | fra det oldgræske πρίσμα - noget savet |
| linje | fra latin linea - hørtråd |
| prik | fra verbet at stikke |
| centrum | fra det antikke græske κέντρον - navnet på en spids pind (kompasben) |
| Kilde: E. I. Berezkina, B. A. Rosenfeld. Forhistorisk tid // Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af moderne tid / Red. A. P. Yushkevich . - Moskva: Nauka, 1970-1972. - S. 10-16. — 353 s. - 7200 eksemplarer. | |
| Matematikkens historie | |
|---|---|
| Lande og epoker | |
| Tematiske afsnit | |
| se også | |