Sandsynlighedsfordeling

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. marts 2021; checks kræver 33 redigeringer .

En sandsynlighedsfordeling er en lov, der beskriver rækkevidden af værdier for en tilfældig variabel og de tilsvarende sandsynligheder for forekomst af disse værdier.

Definition

Lad et sandsynlighedsrum være givet , og en stokastisk variabel defineres på det . Især er per definition en målbar kortlægning af et målbart rum til et målbart rum , hvor betegner Borel sigma-algebraen på . Så inducerer den stokastiske variabel et sandsynlighedsmål på som følger: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $x$ $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $x$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$

\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B))(\mathbb {R} ).

Målingen kaldes fordelingen af den stokastiske variabel . Med andre ord, , sætter altså sandsynligheden for, at den stokastiske variabel falder ind i sættet . $\mathbb {P} ^{X}$ $x$ $\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\i B)$ $\mathbb {P} ^{X}(B)$ $x$ $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

Klassifikation af distributioner

Funktionen kaldes den (kumulative) fordelingsfunktion af den stokastiske variabel . Sætningen følger af sandsynlighedens egenskaber : $F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)$ $x$

Fordelingsfunktionen af enhver tilfældig variabel opfylder følgende tre egenskaber: $F_{X}(x)$

$F_{X}$ er en ikke-aftagende funktion;
$\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$ ;
$F_{X}$ gennemgående til højre.

Fra det faktum, at Borel sigma-algebraen på den reelle linje er genereret af en familie af intervaller af formen , følger følgende sætning : $\{(-\infty ,x]\}_{x\in \mathbb {R} }$

Enhver funktion , der opfylder de tre egenskaber, der er anført ovenfor, er en distributionsfunktion for en eller anden distribution . $F(x)$ $\mathbb {P} ^{X}$

For sandsynlighedsfordelinger, der har bestemte egenskaber, er der mere bekvemme måder at specificere dem på. Samtidig klassificeres fordelinger (og stokastiske variable) normalt efter arten af fordelingsfunktioner [1] .

Diskrete distributioner

En tilfældig variabel kaldes simpel eller diskret , hvis den ikke tager mere end et tælleligt antal værdier. Det vil sige , hvor er en partition . $x$ $X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \i A_{i}$ $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $\Omega$

Fordelingen af en simpel stokastisk variabel er så per definition givet ved: . Ved at introducere notationen kan du definere funktionen . På grund af sandsynlighedens egenskaber . Ved at bruge tællelig additivitet er det nemt at vise, at denne funktion entydigt bestemmer fordelingen . $\mathbb {P} ^{X}(B)=\sum _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})$ $p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})$ $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $\mathbb {P}$ $x$

Et sæt af sandsynligheder , hvor kaldes sandsynlighedsfordelingen af en diskret stokastisk variabel . Sættet af værdier og sandsynligheder kaldes den diskrete lov om sandsynlighedsfordeling [2] . $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $x$ $a_{i},i=1,2...\infty$ ${\displaystyle p_{i},i\i {1,2...\infty ))$

For at illustrere ovenstående skal du overveje følgende eksempel.

Lad funktionen defineres på en sådan måde, at og . Denne funktion definerer fordelingen af en tilfældig variabel , for hvilken (se Bernoulli-fordelingen , hvor den tilfældige variabel tager værdierne ). Den tilfældige variabel er en model for et afbalanceret møntkast. $s$ $p(-1)={\frac {1}{2}}$ $p(1)={\frac {1}{2}}$ $x$ $\mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2))$ $0.1$ $x$

Andre eksempler på diskrete stokastiske variable er Poisson-fordelingen , den binomiale fordeling , den geometriske fordeling .

En diskret fordeling har følgende egenskaber:

$p_{i}\geqslant 0$ ,
$\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$ , hvis værdisættet er begrænset - ud fra sandsynlighedens egenskaber,
Fordelingsfunktionen har et endeligt eller tælligt sæt af diskontinuitetspunkter af den første slags, $F_{X}(x)$
Hvis er et punkt for kontinuitet , så eksisterer det . $x_{0}$ $F_{X}(x)$ ${\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0$

Gitterdistributioner

En gitterfordeling er en fordeling med en diskret fordelingsfunktion og diskontinuitetspunkterne for fordelingsfunktionen danner en delmængde af punkter af formen , hvor er reel, , er et heltal [3] . $a+nh$ $-en$ $h>0$ $n$

Sætning. For at fordelingsfunktionen kan være gitter med et trin , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dens karakteristiske funktion opfylder relationen [3] . $F$ $h$ $f$ $|f(2\pi /h)|=1$

Absolut kontinuerlige distributioner

Fordelingen af en stokastisk variabel siges at være absolut kontinuert , hvis der eksisterer en ikke-negativ funktion, sådan at . Funktionen kaldes så sandsynlighedstæthedsfordelingen af den stokastiske variabel . Funktionen af sådanne distributioner er absolut kontinuerlig i betydningen Lebesgue. $x$ $f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ $\mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx$ $f_{X}$ $x$

Eksempler på absolut kontinuerte fordelinger er normalfordelingen , den ensartede fordeling , eksponentialfordelingen , Cauchy-fordelingen .

Eksempel. Lad , hvornår , og ellers. Så hvis . $f(x)=1$ $0\leqslant x\leqslant 1$ $f(x)=0$ $\mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=ba$ $(a,b)\undersæt [0,1]$

For enhver distributionstæthed gælder følgende egenskaber: $f_{X}$

$f_{X}(x)\geqslant 0$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$ .

Det omvendte er også sandt - hvis funktionen er sådan, at: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R}$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ ,

så eksisterer der en fordeling , som er dens tæthed. $\mathbb {P} ^{X}$ $f(x)$

Anvendelse af Newton-Leibniz formlen fører til følgende relationer mellem funktionen og tætheden af en absolut kontinuert fordeling:

$\mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Sætning. Hvis er en kontinuerlig fordelingstæthed og er dens fordelingsfunktion, så $f(x)$ $F(x)$

$F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,$
$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$ .

Når man konstruerer en fordeling baseret på empiriske (eksperimentelle) data, bør afrundingsfejl undgås .

Singular distributioner

Ud over diskrete og kontinuerte stokastiske variable er der variable, der hverken er diskrete eller kontinuerte på noget interval. Sådanne tilfældige variable inkluderer for eksempel dem, hvis fordelingsfunktioner er kontinuerte, men kun øges på et sæt af Lebesgue-mål nul [4] .

Singularfordelinger er dem, der er koncentreret om et sæt nulmål (normalt Lebesgue-mål ).

Tabel over grundlæggende distributioner

Diskrete fordelinger

Navn	Betegnelse	Parameter	Transportør	Tæthed (rækkefølge af sandsynligheder)	Måtte. forventning	Spredning	karakteristisk funktion
Diskret uniform	${\text{R}}\{1,\dots ,N\}$	$N\in \mathbb {N}$	$\{1,\dots ,N\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N)),k\in \{1,\dots ,N\))$	${\frac {N+1}{2))$	${\frac {N^{2}-1}{12}}$	${\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it}})}}$
Bernoulli	${\text{Bern}}(p)$	$p\in(0,1)$	$\{0,1\}$	$\mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p$	$p$	$p(1-p)$	$pe^{it}+1-p$
Binomial	${\text{Bin}}(n,p)$	$n\in \mathbb {N} ,p\in (0,1)$	$\{0,\dots ,n\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{nk))$	$n.p.$	$np(1-p)$	$(pe^{it}+1-p)^{n}$
Poisson	${\text{Pois}}(\lambda )$	$\lambda>0$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{+))$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!)}}e^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)))$
Geometrisk	${\text{Geom}}(p)$	$p\in (0,1]$	$\mathbb {N}$	$\mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p$	${\frac {1}{p}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2))))$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$

Absolut kontinuerlige distributioner

Navn	Betegnelse	Parameter	Transportør	Sandsynlighedstæthed $f(x)$	Fordelingsfunktion F(x)	karakteristisk funktion	Forventet værdi	Median	Mode	Spredning	Asymmetrikoefficient	Kurtosis koefficient	Differentiel entropi	Genererende funktion af momenter
ensartet kontinuerlig	$U(a,b)$	$a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ , — skiftfaktor , — skalafaktor $-en$ $ba$	$[a,b]$	${\dfrac {1}{ba}}I\{x\in [a,b]\}$	${\dfrac {xa}{ba}}I\{x\in [a,b]\}+I\{x>b\}$	${\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(ba)))$	${\frac {a+b}{2))$	${\frac {a+b}{2}}$	ethvert tal fra segmentet $[a,b]$	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$	$0$	$-{\frac {6}{5}}$	$\ln(ba)$	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
Normal (Gaussisk)	$N(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R}$ — skiftfaktor , — skalafaktor $\sigma >0$	${\mathbb R}$	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2)){2 \sigma ^{2}}}}}$	${\frac {1}{2}}\left(1+\operatørnavn {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2))))\ højre)\right)$	$e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	$\sigma ^{2}$	$0$	$0$	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$	${\displaystyle e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2))))$
lognormal	$LN(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0$	$(0;+\infty )$	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x) -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {Erf}}\venstre[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$	$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}/2}}$	$e^{{\mu +\sigma ^{2}/2}}$	$e^{{\mu))$	$e^{{\mu -\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$	$e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.$
Gamma-fordeling	$\Gamma (\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{\beta}x^{\beta -1)){\Gamma (\beta )))e^{-\alpha x))$	${\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\gamma (\beta ,\alpha x)$	$\left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }$	${\frac {\beta }{\alpha }}$		${\frac {\beta -1}{\alpha }}$ på $\beta \geq 1$	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha ^{2))))$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\beta ))))$	${\frac {6}{\beta }}$	${\begin{aligned}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta )\\&+(1-\beta )\psi (\beta )\end{aligned))$	$\left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }$ på $t<\alpha$
Eksponentiel	${\text{Exp}}(\lambda )$	$\lambda >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\))$	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x))$	${\frac {\lambda }{\lambda -it))$	${\frac {1}{\lambda ))$	$\ln(2)/\lambda$	$0$	$\lambda ^{-2}$	$2$	$6$	$1-\ln(\lambda )$	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Laplace	${\text{Laplace}}(\alpha ,\beta )$	$\alfa >0$ — skalafaktor , — forskydningsfaktor $\beta\in\mathbb{R}$	${\mathbb R}$	$\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha\|x-\beta\|}$	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2} }e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}$	${\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }$	$\beta$	$\beta$	$\beta$	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2))))$	$0$	$3$	$\ln {\frac {2e}{\alpha ))$	${\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ for }}\|t\|<1/\alpha$
Cauchy	${\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )$	$x_{0}$ — skiftfaktor , — skalafaktor $\gamma > 0$	${\mathbb R}$	${1 \over \pi }\left({\gamma \over \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\right)$	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$	$e^{i\,x_{0}\,t-\gamma \,\|t\|}$	Ingen	$x_{0}$	$x_{0}$	$+\infty$	Ingen	Ingen	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$	Ingen
Beta distribution	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	$[0,1]$	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}({\text{B}}(\alpha ,\beta )))$	$I_{x}(\alpha ,\beta )$	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\ca. {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\ alfa +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}$ til $\alpha ,\beta >1$	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ til $\alfa >1,\beta >1$	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$		$1+\sum _{k=1}^{\infty}\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\right){\frac {t^{k}}{k!)}}$
chi-kvadrat	$\chi ^{2}(k)$	$k>0$ er antallet af frihedsgrader	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2))$	$k$	om $k-2/3$	$k-2$ hvis $k\geq 2$	$2\,k$	${\sqrt {8/k))$	$12/k$	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)$	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , hvis $2\,t<1$
Studerende	${\text{t}}(n)$	$n>0$ er antallet af frihedsgrader	${\mathbb R}$	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1 }\venstre({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3}{2));-{\frac {x^{2)) {n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})))}}$	${\displaystyle {\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}\|t\|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}\|t\|\right)^{n /2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1))))$ til $n>0$	$0$ , hvis $n>1$	$0$	$0$	${\frac {n}{n-2))$ , hvis $n>2$	$0$ , hvis $n>3$	${\frac {6}{n-4))$ , hvis $n>4$	${\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\venstre[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2} })\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ højre]}\end{matrix}}$	Ikke
Fisher	$F(d_{1},d_{2})$	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ - antal frihedsgrader	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1 }\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2))))}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2 )),{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$	${\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}}))) } U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{ 1 }}}\imath s\right)$	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ , hvis $d_{2}>2$		${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ , hvis $d_{1}>2$	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(d_{2}-4)}},$ hvis $d_{2}>4$	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_ {1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ hvis $d_{2}>6$	$12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2) ^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right) -\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\venstre (1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2} }\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
Rayleigh	$\mathrm {Rayleigh} (\sigma )$	$\sigma$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}} }$	$1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}$	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\venstre( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\right)$	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$	$\sigma {\sqrt {\ln(4)))$	$\sigma$	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{{2}}}$	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{3/2))))$	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$	$1+\ln \venstre({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\right)+{\frac {\gamma }{2))$	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi}{2))}\left({\textrm {erf }}\venstre({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
Weibulla	$\mathrm {W} (k,\lambda )$	$\lambda >0$ - skalafaktor , - formfaktor $k>0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x} {\lambda ))\right)^{k))$	$1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)$	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k))$	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ til $k>1$	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k))\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+ {\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\ mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\right)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\ k \ geq 1$
Logistisk	$L(\mu,s)$	$\mu$ , $s>0$	${\mathbb R}$	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))$	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ til $\|ist\|<1$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$	$0$	$6/5$	$\ln(s)+2$	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ til $\|s\,t\|<1$
Wigner	$\rho (R)$	$R>0$ - radius	$[-R;+R]$	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\ frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}$ til $-R\leq x\leq R$	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t))$	$0$	$0$	$0$	${\frac {R^{2}}{4}}$	$0$	$-en$	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}$	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t))$
Pareto	${\text{Pareto))(k,x_{\text{m)))$	$x_{\text{m}}>0$ er skalafaktoren , $k>0$	$[x_{\text{m));+\infty )$	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$	${\displaystyle k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , hvis $k>1$	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$	$x_{\text{m))$	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ på $k>2$	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ på $k>3$	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ på $k>4$	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$	Ingen

hvor er gammafunktionen , er den ufuldstændige gammafunktion , er digammafunktionen , er betafunktionen , er den regulariserede ufuldstændige betafunktion , er den hypergeometriske funktion , er Besselfunktionen , er den modificerede Besselfunktion af den første slags , er den modificerede Bessel-funktion af den anden slags slægt , er Tricomi-funktionen . $\Gamma$ $\gamma$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ $B$ ${\displaystyle I_{x))$ $_{1}F_{1}$ ${\displaystyle _{2}F_{1))$ $J_{\alpha }$ ${\displaystyle I_{\nu ))$ ${\displaystyle K_{\nu))$ $U(a,b,z)$

Multivariate fordelinger

Navn	Betegnelse	Parameter	Transportør	Tæthed (rækkefølge af sandsynligheder)	Måtte. forventning	Spredning	karakteristisk funktion
Gaussisk	$N(a,\Sigma )$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n))$ - sym. og neon. def.	$\mathbb {R} ^{n}$	$p(x)={\dfrac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}e^{-{\frac {1}{2}}(xa )^{T}\Sigma ^{-1}(xa)}$	$-en$	$\Sigma$	$e^{ia^{T}t-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$

Noter

↑ Matalytsky, Khatskevich. Sandsynlighedsteori, matematisk statistik og stokastiske processer, 2012. - S.69
↑ Matalytsky, Khatskevich. Sandsynlighedsteori, matematisk statistik og tilfældige processer, 2012. - S.68
↑ 1 2 Ramachandran, 1975 , s. 38.
↑ Matalytsky, Khatskevich. Sandsynlighedsteori, matematisk statistik og stokastiske processer, 2012. — S.76

Litteratur

Sandsynlighedsfordeling // Stor russisk encyklopædi : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Lagutin M.B. Visuel matematisk statistik. - M. : Binom, 2009. - 472 s.
Zhukovsky M.E. , Rodionov I.V. Grundlæggende om sandsynlighedsteorien. - M. : MIPT, 2015. - 82 s.
Zhukovsky M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Introduktion til matematisk statistik. - M. : MIPT, 2017. - 109 s.
Ramachandran B. Teori om karakteristiske funktioner. - M. : Nauka, 1975. - 224 s.
Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Håndbog i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. - M. : Nauka, 1985. - 640 s.
Gubarev V.V. Probabilistiske modeller: En håndbog i 2 dele. - Novosibirsk.: Novosibirsk. Elektroteknik in-t, 1992. - 422 s.

Se også

marginal fordeling

Ordbøger og encyklopædier

Fantastisk norsk

I bibliografiske kataloger
BNF : 119780901 GND : 4121894-2 J9U : 987007557953805171 LCCN : sh85038545 NDL : 00564751 NKC : ph125263

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula