Beta funktion

I matematik er beta-funktionen ( -funktion, Euler-beta-funktion eller Euler- integral af den første slags) følgende specialfunktion af to variable: $\mathrm{B}$

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

defineret ved ,. $\operatorname {Re} x>0$ $\operatorname {Re} y>0$

Beta-funktionen blev undersøgt af Euler , Legendre[ hvornår? ] , og navnet blev givet til hende af Jacques Binet .

Egenskaber

Betafunktionen er symmetrisk med hensyn til permutation af variable, dvs.

\mathrm {B} (x,y)=\operatørnavn {\mathrm {B} } (y,x).

Betafunktionen kan udtrykkes i form af andre funktioner:

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y))),

hvor er gammafunktionen ; $\gamma (x)$

\mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operatørnavn {Re} x>0,\ \operatørnavn {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y }}}\,dt,\quad \operatørnavn {Re} x>0,\ \operatørnavn {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {( y)_{n+1}}{n!(x+n)}},

hvor er den faldende faktorial lig med . $(x)_{n}$ $x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)$

Ligesom gammafunktionen for heltal er en generalisering af faktorielle , er betafunktionen en generalisering af binomiale koefficienter med let modificerede parametre:

{\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1))).

Betafunktionen opfylder den todimensionelle differensligning :

\mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.

Derivater

De partielle afledte af beta-funktionen er som følger:

{\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x) }{\Gamma (x)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},

{\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y) }{\Gamma (y)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},

hvor er digammafunktionen . $\psi(x)$

Ufuldstændig betafunktion

En ufuldstændig betafunktion er en generalisering af betafunktionen, der erstatter intervalintegralet med et integral med en variabel øvre grænse: $[0, 1]$