Binomial fordeling

Binomial fordeling
Sandsynlighedsfunktion
distributionsfunktion
Betegnelse	$B(n,p)$
Muligheder	$n \geqslant 0$ - antal "forsøg" - sandsynlighed for "succes" $0\leqslant p\leqslant 1$
Transportør	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\))$
Sandsynlighedsfunktion	${\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{nk}$
distributionsfunktion	$I_{1-p}(n-\lgulv k\rgulv ,1+\lgulv k\rgulv )$
Forventet værdi	$np$
Median	en af $\{\lgulv np\rgulv -1,\lgulv np\rgulv ,\lgulv np\rgulv +1\}$
Mode	$\lgulv (n+1)\,p\rgulv$
Spredning	$npq$
Asymmetrikoefficient	${\displaystyle {\frac {qp}{\sqrt {npq))))$
Kurtosis koefficient	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Differentiel entropi	${\frac 12}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\venstre({\frac {1}{n))\right )$
Genererende funktion af momenter	${\displaystyle (q+pe^{t})^{n))$
karakteristisk funktion	$(q+pe^{it})^{n}$

Binomialfordeling med parametre og i sandsynlighedsteori - fordelingen af antallet af "succeser" i en sekvens af uafhængige tilfældige eksperimenter , sådan at sandsynligheden for "succes" i hver af dem er konstant og lig med . $n$ $s$ $n$ $s$

Definition

Lade være en endelig sekvens af uafhængige tilfældige variabler , der har den samme Bernoulli-fordeling med parameteren , det vil sige for hver værdi tager værdierne ("succes") og ("fiasko") med sandsynligheder og hhv. Derefter den tilfældige variabel ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ $s$ $i=1,\ldots ,n$ $X_{i}$ $en$ $0$ $s$ $q=1-p$

Y=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}

har en binomialfordeling med parametre og . Dette er skrevet som: $n$ $s$

Y\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)

En tilfældig variabel fortolkes normalt som antallet af succeser i en række identiske uafhængige Bernoulli-forsøg, med en sandsynlighed for succes i hvert forsøg. $Y$ $n$ $s$

Sandsynlighedsfunktionen er givet ved formlen:

p_{Y}(k)\equiv {\mathbb {P}}(Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{{nk)),\ \ k =0,\ldots ,n,

hvor

{\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(nk)!\,k!)}}

er den binomiale koefficient .

Distributionsfunktion

Binomialfordelingens fordelingsfunktion kan skrives som en sum:

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=\sum \limits _{{k=0}}^{{\lfloor y\rfloor}}{\binom {n }{k}}\,p^{k}q^{{nk}},\;y\in {\mathbb {R}}

hvor angiver det største heltal, der ikke overstiger eller som en ufuldstændig betafunktion : $\lgulv y\rgulv$ $y$

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=I_{{1-p}}(n-\lgulv y\rgulv ,\lgulv y\rgulv +1)

Øjeblikke

Den genererende funktion af momenterne i den binomiale fordeling har formen:

M_{Y}(t)=\venstre(pe^{t}+q\højre)^{n}

hvor

{\mathbb {E}}[Y]=np

{\mathbb {E}}\venstre[Y^{2}\right]=np(q+np)

og variansen af den stokastiske variabel .

{\mathbb {D}}[Y]=npq

Egenskaber for binomialfordelingen

Lad og . Så . $Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)$ $Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)$ $p_{{Y_{1}}}(k)=p_{{Y_{2}}}(nk)$
Lad og . Så . $Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1},p)$ $Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{2},p)$ $Y_{1}+Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1}+n_{2},p)$

Forholdet til andre distributioner

Hvis , så får vi Bernoulli distributionen . $n=1$
Hvis det er stort, så i kraft af den centrale grænsesætning , hvor er en normalfordeling med matematisk forventning og varians . $n$ ${\mathrm {Bin}}(n,p)\ca. N(np,npq)$ $N(np,npq)$ $np$ $npq$
Hvis a er stort og er et fast tal, hvor er Poisson-fordelingen med parameteren . $n$ $\lambda$ ${\mathrm {Bin}}(n,\lambda /n)\ca. {\mathrm {P}}(\lambda )$ ${\mathrm {P}}(\lambda )$ $\lambda$
Hvis tilfældige variabler og har binomiale fordelinger og henholdsvis, så er den betingede fordeling af den stokastiske variabel under betingelsen hypergeometrisk . $x$ $Y$ $\mathrm {Bin} (D,p)$ $\mathrm {Bin} (ND,p)$ $x$ $X+Y=n$ ${\mathrm {HG}}(D,N,n)$

Se også

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula