Beta distribution

Beta distribution
Sandsynlighedstæthed
distributionsfunktion
Betegnelse	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$
Muligheder	$\alfa >0$ $\beta>0$
Transportør	$x\in [0,1]$
Sandsynlighedstæthed	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))$
distributionsfunktion	$I_{x}(\alpha ,\beta )$
Forventet værdi	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$
Mode	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ til $\alfa >1,\beta >1$
Spredning	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$
Asymmetrikoefficient	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$
Kurtosis koefficient	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$
Genererende funktion af momenter	$1+\sum _{k=1}^{\infty}\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\right){\frac {t^{k}}{k!)}}$
karakteristisk funktion	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$

Betafordelingen i sandsynlighedsteori og statistik er en to-parameter familie af absolut kontinuerlige fordelinger . Bruges til at beskrive tilfældige variable, hvis værdier er begrænset til et endeligt interval.

Definition

f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1 }

hvor

$\alfa ,\beta >0$ vilkårlige faste parametre, og
$\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx$ er beta-funktionen .

Så har den stokastiske variabel en betafordeling. Skriv :. $x$ $X\!\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$

Formen på betafordelingssandsynlighedstæthedsgrafen afhænger af valget af parametre og . $\alfa$ $\beta$

$\alfa<1,\ \beta<1$ — grafen er konveks og går til uendelig ved grænserne (rød kurve);
$\alpha <1,\ \beta \geq 1$ eller - grafen er strengt faldende (blå kurve) $\alpha =1,\ \beta >1$
- $\alpha =1,\ \beta >2$ - grafen er strengt konveks;
- $\alpha =1,\ \beta =2$ — grafen er en ret linje;
- $\alpha =1,\ 1<\beta <2$ - grafen er strengt konkav ;
$\alpha =1,\ \beta =1$ plottet stemmer overens med tæthedsplottet for den standard kontinuerlige ensartede fordeling ;
$\alpha =1,\ \beta<1$ eller — strengt stigende graf (grøn kurve); $\alpha >1,\ \beta \leq 1$
- $\alfa >2,\ \beta =1$ - grafen er strengt konveks;
- $\alpha =2,\ \beta =1$ — grafen er en ret linje;
- $1<\alfa <2,\ \beta =1$ — grafen er strengt konkav;
$\alfa >1,\ \beta >1$ — unimodal graf (magenta og sorte kurver)

I tilfældet når , er sandsynlighedstætheden symmetrisk med hensyn til (røde og magenta kurver), dvs. $\alpha=\beta$ $1/2$

f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\in [0,1/2]

Den matematiske forventning og varians for en tilfældig variabel med en betafordeling er: $x$

\mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta ))

\mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))

Betafordelingen er en type I Pearson-fordeling [1] .
Den kontinuerlige ensartede standardfordeling er et specialtilfælde af betafordelingen: $\mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)$ .
Betafordelingen er meget udbredt i Bayesiansk statistik , da den er den konjugerede prior af Bernoulli- , binomial- og geometriske fordelinger.
Hvis er uafhængige gamma-fordelte stokastiske variable, og , og , så $X,Y$ $X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)$ $Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)$ ${\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ .

Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Håndbog i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. - M. : Nauka, 1985. - 640 s.

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula