Funktionsbærer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. marts 2018; verifikation kræver 1 redigering .

Bæreren for en funktion er lukningen af det sæt, hvor funktionen ikke er nul.

Understøttelse af den klassiske funktion

Funktionens støtte er lukningen af den delmængde , hvor den reelle værdi ikke forsvinder: $u\kolon X\til \mathbb{R}$ $x$ $u$

{\mathrm {supp}}\,u=\overline {\left\{x\mid u(x)\neq 0\right\}}).

Det mest almindelige tilfælde er, når funktionen er defineret på et topologisk rum og er kontinuerlig. I et sådant tilfælde er bæreren defineret som den mindste lukkede delmængde uden for hvilken er lig nul. $u$ $x$ $x$ $u$

Kompakt transportør

Funktioner med kompakt støtte på er dem, hvis støtte er en kompakt undergruppe af . $x$ $x$

For eksempel, hvis er en rigtig linje , så er alle kontinuerlige funktioner, der forsvinder ved , funktioner med kompakt understøttelse. $x$ $|x|>C$

En funktion kaldes finite , hvis dens understøttelse er kompakt .

Generisk funktionsbærer

Du kan også introducere begrebet en støtte til en generaliseret funktion , det vil sige for en funktionel på et sæt af uendeligt glatte finite funktioner .

Formel definition

Overvej en generaliseret funktion og alle mængder sådan, at hvis den endelige funktion forsvinder i mængden , så er værdien 0. $f$ $K$ $\varphi$ $K$ $(f,\;\varphi)$

Den mindste (ved inklusion) af sådanne sæt kaldes bæreren af den generaliserede funktion $f$ . (Ellers kan vi sige, at det er skæringspunktet mellem alle sådanne ). ${\mathrm {supp}}\,f$ $K$

Det er værd at bemærke, at understøttelsen af den generaliserede funktion vil være et ikke- tomt kompakt sæt.

Bemærk

Bemærk, at denne definition af en transportør ikke falder sammen med den klassiske. Faktisk er en generaliseret funktion defineret på rummet af uendeligt glatte finite funktioner , hvilket betyder, at den klassiske støtte skal være en delmængde af , mens støtten til en generaliseret funktion er en delmængde af . $f$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $x$

Eksempler

Som et eksempel kan du overveje Dirac-funktionen . $\delta(x)$

Tag enhver finit funktion med støtte, der ikke inkluderer punktet 0. Da ( anvendt som en lineær funktion til ) er nul for sådanne funktioner, kan vi sige, at støtten kun er punktet . $\varphi$ $(\delta,\;\varphi)$ $\delta$ $\varphi$ $\delta$ $\{0\}$

Singular Carrier

Især i Fourier-analyse er det interessant at studere den enestående støtte for den generaliserede funktion . Den har en intuitiv fortolkning som et sæt af punkter, hvor "den generaliserede funktion ikke reduceres til den sædvanlige".

Formel definition

Lade være en generaliseret funktion . Det kan repræsenteres som , hvor er en regulær generaliseret funktion , og er en singular generaliseret funktion . (En sådan repræsentation er generelt set ikke unik.) $f$ $f=u+v$ $u$ $v$

Skæringspunktet mellem understøtninger i alle mulige udvidelser kaldes entalsstøtten af den generaliserede funktion . ${\mathrm {supp}}\,v$ $f=u+v$ $f$

Den klassiske notation for entalsbæreren . ${\mathrm {synge\,supp}}\,f$

Eksempler

Således er den enestående støtte for Dirac-funktionen punktet 0.

I dette særlige tilfælde falder entalsstøtten og kun støtten til den generaliserede funktion sammen. Dette er dog ikke en generel ejendom. For eksempel for en generaliseret funktion, der handler efter formlen

(f,\;\varphi )=\int \limits _{0}^{1}\varphi \,dx+\varphi (0),

bæreren vil være segmentet , og entalsbæreren vil være punktet 0. $[0,\;1]$

Et andet eksempel er Fourier-transformationen for Heaviside-trinfunktionen kan betragtes som op til en konstant som , bortset fra det punkt hvor . Da dette åbenbart er et ental punkt, er det mere præcist at angive, at transformationen har singulære støtte som en fordeling . $1/x$ $x=0$ $\{0\}$

For fordelinger med flere variable tillader singulære understøttelser at definere bølgefrontsæt og forstå Huygens' princip med hensyn til calculus . Singulære understøtninger kan også bruges til at forstå fænomener, der er specifikke for fordelingsteori, såsom forsøg på at multiplicere fordelinger (kvadratering af Dirac delta-funktionen er ikke mulig, hovedsagelig fordi singularstøtterne af fordelinger, der multipliceres, skal adskilles).

Den enestående støtte finder en vigtig anvendelse i teorien om pseudodifferentielle operatorer (PDO) , især i PDO pseudolocality teoremet .

Mål transportør

Da mål (herunder sandsynlighedsmål ) på den reelle linje er særlige tilfælde af generaliserede funktioner (fordelinger) , kan vi også tale om understøttelse af et mål på samme måde. $\mathbb {R}$

Se også

Litteratur

Shubin MA Pseudodifferentielle operatorer og spektralteori . - 2. udg. - M .: "Dobrosvet", 2003.