Kopula

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. juli 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Copula ( lat. copula "forbindelse, sheaf") er en flerdimensionel fordelingsfunktion defineret på en dimensionel enhedsterning , således at hver af dens marginale fordelinger er ensartede i intervallet . $n$ $[0,\;1]^{n}$ $[0,\;1]$

Sklars sætning

Sklars sætning er som følger: for en vilkårlig todimensionel fordelingsfunktion med endimensionelle marginalfordelingsfunktioner, og der eksisterer en kopula sådan, at $H(x,\;y)$ $F(x)=H(x,\;\infty )$ $G(y)=H(\infty ,\;y)$

H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),

hvor vi identificerer en distribution med dens distributionsfunktion. Kopulaen indeholder al information om karakteren af sammenhængen mellem to stokastiske variable , som ikke findes i marginalfordelinger, men indeholder ikke information om marginalfordelinger. Som et resultat er information om marginalerne og information om afhængigheden mellem dem adskilt af en kopula fra hinanden. $C$

Nogle egenskaber ved copula er:

C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,

C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.

Fréchet-Hoefding grænser for copula

Minimum kopula er den nedre grænse for alle kopler, kun i det todimensionelle tilfælde svarer det til en strengt negativ korrelation mellem tilfældige variable:

W(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).

Den maksimale copula er den øvre grænse for alle copulaer, svarer til en strengt positiv korrelation mellem tilfældige variable:

M(x,\;y)=\min(x,\;y).

Arkimedisk kopula

En særlig simpel form for kopula:

C(x,\;y)=\Psi ^{{-1}}(\Psi (x)+\Psi (y)),

hvor kaldes en generatorfunktion . Sådanne kopler kaldes Archimedean . Enhver generatorfunktion, der opfylder følgende egenskaber, tjener som grundlag for en ordentlig kopula: $\psi$

\Psi (1)=0;\quad \lim _{{x\to 0}}\Psi (x)=\infty ;\quad \Psi '(x)<0;\quad \Psi ''(x) >0.

En produktkopula , også kaldet en uafhængig kopula , er en kopula, der ikke har nogen afhængigheder mellem variabler, dens tæthedsfunktion er altid lig med én.

\Psi (x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy.

Claytons kopula:

\Psi (x)=x^{\theta }-1;\quad \theta \leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^{\theta }+y^{\theta }-1 )^{{1/\theta }}.

For i Claytons copula er de tilfældige variable statistisk uafhængige . $\theta=0$

Generatorfunktionstilgangen kan udvides til at skabe multidimensionelle kopler ved blot at tilføje variable.

Empirisk kopula

Når man analyserer data med en ukendt fordeling, er det muligt at bygge en "empirisk kopula" ved foldning på en sådan måde, at de marginale fordelinger er ensartede. Matematisk kan dette skrives som:

C_{n}\left({\frac {i}{n)),{\frac {j}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot

Antallet af par sådan at

(x,y)

x\leq x_{{(i)}}{\text{ og }}y\leq y_{{(j)}}\,,1\leq i\leq n,1\leq j\leq n

hvor x ( i ) repræsenterer den i . ordens statistik af x .

Gaussisk kopula

Gaussiske copulaer er meget udbredt i den finansielle sektor. For det n-dimensionelle tilfælde kan copulaen repræsenteres som [1] [2] :

C\left[G_{1}(u_{1}),...,G_{n}(u_{n})\right]=\Phi _{n}\left[\Phi ^{- 1}(G_{1}(u_{1})),...,\Phi ^{-1}(G_{n}(u_{n})),\rho _{\Phi }\right]

hvor:

$G_{i}(u_{i})$ — private distributioner;
${\displaystyle \Phi _{n))$ — n-dimensionel lednormalfordeling med en positiv semibestemt korrelationsmatrix af dimension ; ${\displaystyle \rho _{\Phi ))$ $n\ gange n$
$\Phi ^{-1}$ er den omvendte funktion af den Gaussiske fordeling.

Ansøgninger

Copula-afhængighedsmodellering anvendes i vid udstrækning i vurdering af finansielle risici og forsikringsanalyser, for eksempel ved prisfastsættelse af sikkerhedsstillelse af gældsforpligtelser (CDO'er) [3] . Derudover er copulaer også blevet anvendt til andre forsikringsopgaver som et fleksibelt værktøj.

Se også

Uafhængighed (sandsynlighedsteori)

Noter

↑ Meissner, Gunter. 4.3.1 Den Gaussiske Copula // Korrelationsrisikomodellering og -styring : en anvendt vejledning, herunder Basel III-korrelationsrammerne . - Wiley, 2014. - S. 76. - ISBN 111879690X .
↑ Blagoveshchensky Yu. N. Hovedelementerne i teorien om copulas // Anvendt økonometri. - 2012. - Nr. 2 (26) . - S. 113-130 .
↑ Meneguzzo, David (2003), Copula sensitivity in collateralized debt obligations and basket default swaps , Journal of Futures Markets bind 24 (1): 37–70 , DOI 10.1002/fut.10110

Litteratur

Blagoveshchensky Yu. N. Hovedelementerne i teorien om copulas // Applied Econometrics, nr. 2 (26), 2012. S. 113-130.
Clayton David G. En model for association i bivariate livstabeller og dens anvendelse i epidemiologiske undersøgelser af familiær tendens i kronisk sygdomsforekomst. - Biometri . - 1978. - 65. - s. 141-151. JSTOR (abonnement)
Frees, EW, Valdez, EA Forstå relationer ved hjælp af Copulas. — Nordamerikansk Aktuartidsskrift. - 1998. - 2. - pp. 1-25.
Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. - Springer , 1999. - 236 s. — ISBN 0-387-98623-5 .
Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-tailed and Skewed Asset Return Distributions. - Wiley, 2005. - 369 s. — ISBN 0-471-71886-6 .
Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. - Publications de l'Institut de Statistique de L'Université de Paris. - 1959. - 8. - s. 229-231.

Links

Weisstein, Eric W. Sklar's Theorem (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
Eksempler på generering af copulaer i Matlab

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula