Tracy-Widom distribution

Tracy-Widom-fordelingen er en statistisk fordeling introduceret af Craig Tracy og Harold Widom for at beskrive den normaliserede største egenværdi af en tilfældig hermitisk matrix [1] .

I anvendte termer er Tracy-Widom-fordelingen en overgangsfunktion mellem to faser af systemet: med svagt koblede og stærkt koblede komponenter [2] . Det opstår også som en fordeling af længden af den største stigende undersekvens af tilfældige permutationer [3] , i fluktuationer i strømmen af en asymmetrisk proces med simple undtagelser (ASEP) med en trinvis startbetingelse [4] [5] , og i forenklede matematiske modeller af adfærden i de største almindelige problemfølger af tilfældige input [6] [7] .

F 1 - fordelingen er især interessant set fra multivariat statistik [8] [9] [10] [11] .

Definition

Tracy-Widom distributionen er defineret som grænsen [12]

F_{\beta }(s)=\lim \limits _{{n\rightarrow \infty }}{{\rm {Prob}}}\left((\lambda _{{{\rm {max}}}} -{\sqrt {2n)))({\sqrt {2}})n^{{1/6}}\leq s\right){\mbox{,}}

hvor er den største egenværdi af en tilfældig matrix af en standard (for matrixkomponenter ) Gaussisk ensemble : for β=1 - ortogonal, for β=2 - unitær, for β=4 - symplektisk. Forskydningen bruges til at centrere fordelingen ved punkt 0. Multiplikatoren bruges, fordi standardafvigelsen for fordelingen skaleres til . $\lambda _{{{\rm {maks))))$ $n\ gange n$ $\sigma =1/{\sqrt 2}$ ${\sqrt {2n}}$ $({\sqrt {2}})n^{{1/6}}$ $n^{{-1/6}}$

Tilsvarende repræsentationer

Den kumulative Tracy-Widom-fordelingsfunktion for unitære ensembler ( ) kan repræsenteres som Fredholm-determinanten $\beta=2$

F_{2}(s)=\det(I-A_{s})

operatør på en kvadrat-integrerbar funktion på strålen med en kerne i form af luftige funktioner mht $Som$ $(s,\infty )$ ${\mathrm {Ai}}$

{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{xy)).

Det kan også repræsenteres som et integral

F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(xs)q^{2}(x)\,dx\right)

gennem løsningen af Painlevé-ligningen II

q^{{\prime \prime }}(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}

hvor , kaldet Hastings-McLeod-løsningen, opfylder grænsebetingelserne: $q$

\displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .

Andre Tracy-Widom distributioner

Tracy-Widom-fordelingerne for både ortogonale ( ) og symplektiske ( ) ensembler kan også udtrykkes i form af Painlevé-transcendenten [13] : $F_{1}$ $F_{4}$ $\beta=1$ $\beta=4$ $q$

F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left( F_{2}(r)\højre)^{{1/2}}

F_{4}(s/{\sqrt {2}})={\mathrm {ch}}\left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x )\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{{1/2}}.

Der er en udvidelse af denne definition til at omfatte tilfælde for alle [14] . $F_{\beta }$ $\beta>0$

Numeriske tilnærmelser

Numeriske metoder til at opnå omtrentlige løsninger af Painlevé II- og Painlevé V-ligningerne og numerisk bestemte fordelinger af egenværdier af tilfældige matricer i beta-ensembler blev først præsenteret i 2005 [15] (ved hjælp af MATLAB ). Disse omtrentlige metoder blev senere analytisk raffineret [16] og bruges til at opnå numerisk analyse af Painlevé II og Tracy-Widom distributioner (for ) i S-PLUS . Disse fordelinger blev tabuleret [16] til fire signifikante cifre ved argumentværdier med et trin på 0,01; arbejdet omfattede også en statistisk tabel over p - værdier . I 2009 [17] , eksakte og hurtige algoritmer til den numeriske bestemmelse og tæthed funktioner for . Disse algoritmer kan bruges til numerisk at beregne middelværdien , variansen , skævheden og kurtosis af fordelinger . $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$ $\textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}$ $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$

β	Gennemsnit	Spredning	Asymmetrikoefficient _	Overskydende
en	−1,2065335745820	1,607781034581	0,29346452408	0,1652429384
2	−1,771086807411	0,8131947928329	0,224084203610	0,0934480876
fire	−2,306884893241	0,5177237207726	0,16550949435	0,0491951565

Funktioner til at arbejde med Tracy-Widom lovene findes også i pakken til R RMTstat [18] og i pakken til MATLAB RMLab [19] .

En simpel tilnærmelse baseret på skæve gammafordelinger er også blevet beregnet [20] .

Noter

↑ Dominici, D. (2008) Specialfunktioner og ortogonale polynomier Amerikansk matematik. soc.
↑ Mystisk statistisk lov kan endelig have en forklaring . wired.com (27. oktober 2014). Hentet 30. september 2017. Arkiveret fra originalen 17. juli 2017. (ubestemt)
↑ Baik, Deift & Johansson (1999) .
↑ Johanson, 2000 .
↑ Tracy, Widom, 2009 .
↑ Majumdar & Nechaev (2005) .
↑ Se Takeuchi & Sano, 2010 , Takeuchi et al., 2011 for en eksperimentel verifikation (og bekræftelse), at fluktuationerne i grænsefladen af en voksende dråbe (eller base) er beskrevet af Tracy-Widom-fordelingen (eller ) som forudsagt i ( Prähofer & Spohn, 2000 ) $F_{2}$ $F_{1}$
↑ Johnstone, 2007 .
↑ Johnstone, 2008 .
↑ Johnstone, 2009 .
↑ For en diskussion af universalitet , se Deift (2007 ). For appendiks F 1 til at udlede befolkningsstruktur fra genetiske data, se Patterson, Price & Reich (2006 ) $F_{\beta }$ $\beta=1,2,4$
↑ Tracy, CA & Widom, H. (1996), On ortogonal and symplectic matrix ensembles , Communications in Mathematical Physics bind 177(3): 727–754, ,10.1007/BF02099545:doi > Arkiveret 20. december 2014 på Wayback Machine
↑ Tracy, Widom, 1996 .
↑ Ramírez, Rider & Virág (2006) .
↑ Edelman & Persson (2005) .
↑ 12 Bejan , 2005 .
↑ Bornemann, 2010 .
↑ Johnstone et al. (2009) .
↑ Dieng, 2006.
↑ Chiani, 2012 .

Litteratur

Dotsenko V. S. Universal tilfældighed // Fysisk . - 2011. - T. 181 , nr. 3 . - doi : 10.3367/UFNr.0181.201103b.0269 .
Baik, J.; Deift, P. & Johansson, K. (1999), Om fordelingen af længden af den længst stigende undersekvens af tilfældige permutationer , Journal of the American Mathematical Society bind 12 (4): 1119–1178 , DOI 10.1090/S0894- 0347-99-00307-0 .
Deift, P. (2007), Universalitet for matematiske og fysiske systemer , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , s. 125-152 .
Johansson, K. (2000), Formfluktuationer og tilfældige matricer , Communications in Mathematical Physics bind 209 (2): 437–476 , DOI 10.1007/s002200050027 .
Johansson, K. (2002), Toeplitz-determinanter, tilfældig vækst og determinante processer , Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002) , vol. 3, Beijing: Higher Ed. Tryk, s. 53–62 .
Johnstone, I.M. (2007), Højdimensionel statistisk inferens og tilfældige matricer , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , s. 307-333 .
Johnstone, IM (2008), Multivariat analyse og Jacobi-ensembler: største egenværdi, Tracy–Widom grænser og konvergenshastigheder , Annals of Statistics bind 36 (6): 2638–2716, PMID 20157626 , DOI 10.1214/605 .
Johnstone, IM (2009), Tilnærmet nulfordeling af den største rod i multivariat analyse , Annals of Applied Statistics bind 3 (4): 1616-1633, PMID 20526465 , DOI 10.1214/08-AOAS220 .
Majumdar, Satya N. & Nechaev, Sergei (2005), Præcise asymptotiske resultater for Bernoulli matchende model for sekvensjustering , Physical Review E T. 72 (2): 020901, 4 , DOI 10.1103/PhysRevE.72.020901 .
Patterson, N.; Price, AL & Reich, D. (2006), Populationsstruktur og egenanalyse , PLoS Genetics bind 2 (12): e190, PMID 17194218 , DOI 10.1371/journal.pgen.0020190 .
Prähofer, M. & Spohn, H. (2000), Universelle fordelinger til dyrkningsprocesser i 1+1 dimensioner og tilfældige matricer , Physical Review Letters bind 84 (21): 4882–4885, PMID 10990822 , DOI 10.1103/PhysRev.4Lett.484Lett.48.48.21. .
Takeuchi, KA & Sano, M. (2010), Universal fluctuations of growing interfaces: Evidence in turbulent liquid crystals , Physical Review Letters bind 104 (23): 230601, PMID 20867221 , DOI 10.1103/Phytt.1104.PhyssRevL.20601
Takeuchi, K.A.; Sano, M.; Sasamoto, T. & Spohn, H. (2011), Voksende grænseflader afdækker universelle fluktuationer bag skalainvarians , Scientific Reports vol . 1: 34 , DOI 10.1038/srep00034
Tracy, CA & Widom, H. (1993), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Physics Letters B vol . 305(1-2): 115-118
Tracy, CA & Widom, H. (1994), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Communications in Mathematical Physics bind 159 (1): 151–174 , DOI 10.1007/BF02100489 .
Tracy, CA & Widom, H. (2002), Distributionsfunktioner for største egenværdier og deres applikationer , Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002) , vol. 1, Beijing: Higher Ed. Tryk, s. 587-596 .
Tracy, CA & Widom, H. (2009), Asymptotics in ASEP with step initial condition , Communications in Mathematical Physics bind 290 (1): 129–154 , DOI 10.1007/s00220-009-0761-0 .
Bejan, Andrei Iu. (2005), Største egenværdier og prøve kovariansmatricer. Tracy–Widom og Painleve II: Beregningsaspekter og realisering i S-Plus med applikationer , M.Sc. afhandling, Department of Statistics, The University of Warwick , < http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/TWinSplus.pdf > .
Bornemann, F. (2010), Om den numeriske evaluering af fordelinger i tilfældig matrixteori: En gennemgang med en invitation til eksperimentel matematik, Markov Processes and Related Fields vol. 16 (4): 803–866 .
Chiani, M. (2012), Fordeling af den største egenværdi for reelle Wishart- og Gaussiske tilfældige matricer og en simpel tilnærmelse for Tracy-Widom-fordelingen .
Edelman, A. & Persson, P.-O. (2005), Numeriske metoder til egenværdifordelinger af tilfældige matricer .
Ramirez, JA; Rider, B. & Virág, B. (2006), Beta-ensembler, stokastisk luftigt spektrum og en diffusion .

Links

Kuijlaars, Universalitet af distributionsfunktioner i tilfældig matrixteori , < http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Kuijlaars.pdf > .
Tracy, CA & Widom, H. , Fordelingerne af tilfældig matrixteori og deres anvendelser , < http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf > .
Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick & Shahram, Morteza (2009), Pakke 'RMTstat' , < http://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf > .
Quanta Magazine: Ved de fjerne ender af en ny universel lov

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula