Poisonfordeling

Poisonfordeling
Sandsynlighedsfunktion
distributionsfunktion
Betegnelse	${\mathrm {P}}(\lambda )$
Muligheder	$\lambda \in (0,\infty )$
Transportør	$k\in \{0,1,2,\ldots\}$
Sandsynlighedsfunktion	${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!)}}$
distributionsfunktion	${\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!)))$
Forventet værdi	$\lambda$
Median	$\ca. \lgulv \lambda +1/3-0,02/\lambda \rgulv$
Mode	$\lgulv \lambda \rgulv$
Spredning	$\lambda$
Kurtosis koefficient	$\lambda ^{-1}$
Differentiel entropi	$\lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{{-\lambda }}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {\ lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}$
Genererende funktion af momenter	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$
karakteristisk funktion	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$

Poisson -fordelingen er en diskret-type fordeling af en stokastisk variabel, der repræsenterer antallet af hændelser , der fandt sted på et fast tidspunkt, forudsat at disse hændelser forekommer med en vis fast gennemsnitsintensitet og uafhængigt af hinanden.

Poisson-fordelingen spiller en nøglerolle i køteori .

Definition

Lad os vælge et fast tal og definere en diskret fordeling givet af følgende sandsynlighedsfunktion : $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

hvor

$k$ - antallet af begivenheder,
$\lambda$ - matematisk forventning om en tilfældig variabel (gennemsnitligt antal hændelser i en fast periode),
$k!$ angiver fakultetet af et tal , $k$
$e=2{,}718281828\ldots$ er grundlaget for den naturlige logaritme .

Det faktum, at en stokastisk variabel har en Poisson-fordeling med matematisk forventning , skrives: . $Y$ $\lambda$ $Y\sim ~{\mathrm {P}}(\lambda )$

Øjeblikke

Den momentgenererende funktion af Poisson-fordelingen har formen:

E_{Y}(t)=e^{{\lambda \left(e^{t}-1\right)}}

hvor

{\mathbb {M}}[Y]=\lambda

{\mathbb {D}}[Y]=\lambda

For fordelingens faktorielle momenter er den generelle formel gyldig:

\mathbb {M} Y^{[k]}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end {matrix}}\right\}

hvor krøllede parenteser angiver stirlingtal af anden art . $k=1,2,...$

Og da momenterne og faktormomenterne hænger lineært sammen, er det ofte de faktorielle momenter, der studeres for Poisson-fordelingen, hvorfra der om nødvendigt også kan udledes almindelige momenter.

Egenskaber for Poisson-distributionen

Summen af uafhængige Poisson stokastiske variable har også en Poisson-fordeling. Lad . Derefter $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Y_{i}\sim {\mathrm {P}}\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n} \lambda _{i}\right)

Lad , og . Så er den betingede fordeling under den betingelse, at , er binomial. Mere præcist: $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,2$ ${\displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2))$ $Y_{1}$ $Y=y$

Y_{1}\mid Y=y\sim {\mathrm {Bin}}\left(y,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}} \ret)

Efterhånden som Poisson-fordelingen stiger , tenderer den til en Gauss-fordeling med en standardafvigelse og et skift . For at bevise dette skal vi anvende Stirlings formel for faktorialet og derefter bruge Taylor-seriens ekspansion i nærheden af og inden for fordelingens top . Så viser det sig $\lambda$ $\sigma=\sqrt{\lambda}$ $\lambda$ $\ln(\lambda/k)^k$ $k=\lambda$ $\sqrt{k}\approx\sqrt{\lambda}$

p(k)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\right)

Asymptotisk tendens til distribution

Ganske ofte betragter man i sandsynlighedsteorien ikke selve Poisson-fordelingen, men en sekvens af fordelinger, der er asymptotisk lig med den. Overvej mere formelt en sekvens af tilfældige variabler , der tager heltalsværdier, sådan at den gælder for enhver . $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ $k$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$ $n\til\infty$

Det enkleste eksempel er, når det har en binomialfordeling med en sandsynlighed for succes i hvert af forsøgene. $\xi _{n}$ ${\frac {\lambda }{n}}$ $n$

Feedback med faktorielle øjeblikke

Lad os overveje en sekvens af tilfældige variable, der tager ikke-negative heltalsværdier. Hvis for og for nogen fast (hvor er det -th faktorielle moment ), så for enhver for , har vi . $\xi _{1},\xi _{2},\dots ,$ $\mu _{r}({\xi _{n)))\sim \lambda ^{r}$ $n\til\infty$ $r$ $\mu _{r}({\xi _{n)))$ $r$ $k$ $n\til\infty$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$

Bevis Lemma

Lad os først bevise den generelle formel til beregning af sandsynligheden for forekomsten af en specifik værdi af en tilfældig variabel i form af faktorielle momenter. Lad for nogle vi kender alt og for . Derefter $\xi$ $\mu _{r}(\xi)$ $\mu _{r}(\xi)\til 0$ $r\to\infty$

$\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!} }}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{\sum \limits _{s=r}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {s!} {k!(rk)!(sr)!}}P\{\xi =s\}}}.$

Ved at ændre rækkefølgen af summeringen kan dette udtryk konverteres til

$\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}\sum \limits _{r=k}^{s}{\frac {(-1) ^{rk}s!}{k!(rk)!(sr)!}}}=\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}{\frac {s!}{k!}}\sum _{t=0}^{sk}{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)-t)!}}}.$

Ud fra den velkendte formel får vi yderligere, at at og det samme udtryk degenererer til at . $\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0$ ${\frac {s!}{k!}}\sum _{{t=0}}^{{sk}}{{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)- t)!}}}=0$ $s>k$ $en$ $s=k$

Det er således bevist $P\{\xi =k\}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!}}}.$

Bevis for sætningen

Ifølge lemmaet og sætningens betingelser, for . $P\{\xi _{n}=k\}\sim \sum \limits _{{r=k}}^{{\infty }}{(-1)^{{rk}}{\frac {\ lambda ^{r}}{k!(rk)!}}}=\sum \limits _{{r=0}}^({\infty }}{(-1)^{r}{\frac {\ lambda ^{{r+k}}}{k!r!}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\sum \limits _{{r=0}}^{{ \infty )){{\frac {(-\lambda )^{r}}{r!}}}={\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!} }$ $n\til\infty$

QED

Som eksempel på en ikke-triviel konsekvens af denne sætning kan man f.eks. nævne den asymptotiske tendens til fordelingen af antallet af isolerede kanter (to-vertex-forbundne komponenter) i en tilfældig -vertex-graf, hvor hver af de kanter er inkluderet i grafen med sandsynlighed . [en] ${\mathrm {P}}(\lambda )$ $n$ $p_{n}\sim {\frac {2\lambda }{n^{2))}$

Historie

Siméon Denis Poissons "Studies on the Probability of Sentencing in Criminal and Civil Cases" [2] , hvor denne distribution blev introduceret, blev udgivet i 1837 [3] . Eksempler på andre situationer, der kan modelleres ved hjælp af denne fordeling er: udstyrsnedbrud, vedligeholdelsestid for en stabil medarbejder, trykfejl, bakterievækst i en petriskål , defekter i et langt bånd eller kæde, strålingstællerimpulser, antal mål scoret af et fodboldhold og andre [4]

Se også

Noter

↑ Videoforelæsning ved School of Data Analysis . Dato for adgang: 7. december 2014. Arkiveret fra originalen 8. april 2014. (ubestemt)
↑ Poisson, 1837 .
↑ Chukova Yu. P. Poisson-distribution // "Quantum" : videnskabelig pop. Fysisk.-Matematik. magasin - M . : "Nauka" , 1988. - Nr. 8 . — S. 15‒18 . — ISSN 0130-2221 .
↑ Vince, 2012 , s. 370.

Litteratur

Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Sandsynlighedsteori og dens tekniske anvendelser. 2. udg. - M . : Højere skole , 2000. - 480 s. - ISBN 978-5-406-00565-1 . - S. 135.
Vince, Ralph. Matematikken i pengestyringsrisikoanalyseteknikker for handlende. — M .: Alpina Publisher , 2012. — 400 s. - ISBN 978-5-9614-1894-1 .
Poisson S. D. Undersøgelser om sandsynligheden for strafudmåling i straffesager og civile sager = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. - Berlin: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. - 330 s. — ISBN 978-3-942944-29-8 . [Poisson.pdf ] . Arkiveret fra originalen den 1. november 2014. (ubestemt)
Guerriero V. Magtlovfordeling: Metode til multi-skala inferentiel statistik . — Journal of Modern Mathematics Frontier , 2012, 1 . - S. 21-28. Arkiveret 21. februar 2018 på Wayback Machine

Links

Poisson Distribution - Online Lommeregner

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Stor russer Great Soviet (1 udg.) Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4253010-6 J9U : 987007558217205171 LCCN : sh85103956 NDL : 00569122

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula