Absolut kontinuitet

Absolut kontinuitet er en egenskab ved funktioner og mål i matematisk analyse , som uformelt set er opfyldelsen af Newton-Leibniz-sætningen om sammenhængen mellem integration og differentiering . Normalt er denne sætning formuleret i termer af Riemann-integralet og inkluderer i sine betingelser integrerbarheden af derivatet i betydningen Riemann. Når man går over til et mere generelt Lebesgue-integral , bliver det naturlige krav til eksistensen af en målbar afledt næsten overalt for svag, og for at opfylde en relation analog med Newton-Leibniz-sætningen er der behov for en mere subtil betingelse, som kaldes absolut kontinuitet . Dette koncept overføres til foranstaltninger ved hjælp af Radon-Nikodim-derivatet .

Absolut kontinuerlige funktioner

En funktion kaldes en absolut kontinuert funktion på et endeligt eller uendeligt interval , hvis der for nogen er sådan , at uligheden [1] er opfyldt for ethvert endeligt sæt af parvise usammenhængende intervaller af domænet for den funktion , der opfylder betingelsen . $f\venstre(x\højre)$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $\venstre(x_{i},y_{i}\højre)$ $f$ $\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta$ $\sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon$

En funktion, der er absolut kontinuert på et interval, er ensartet kontinuerlig og derfor kontinuerlig . Det omvendte er ikke sandt.

Egenskaber

Hver absolut kontinuert funktion har afgrænset variation på intervaller med begrænset længde .

Absolut kontinuerte funktioner danner et vektorrum . Desuden danner de et lukket underrum i rummet af funktioner af afgrænset variation.

Produktet af funktioner, der er absolut kontinuerte på et interval med begrænset længde, giver en absolut kontinuert funktion.

Hver absolut kontinuert funktion kan repræsenteres som forskellen mellem to ikke-aftagende absolut kontinuerte funktioner.

Lad en absolut kontinuerlig funktion på . Så er den differentierbar næsten overalt; den generaliserede afledte er Lebesgue-integrerbar, og ligheden gælder for alle : $F$ $[a,b]$ $F'$ $x\i[a,b]$ $\int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$ .

Omvendt er en funktion, der har en Lebesgue-integrerbar generaliseret afledet på et interval , absolut kontinuert på den, op til et sæt af Lebesgue-mål nul.

Hvis en funktion er absolut kontinuert på et segment og absolut kontinuert på et segment, der indeholder alle værdier af , så er det nødvendigt og tilstrækkeligt for at en superposition er absolut kontinuert, at det er en funktion af begrænset variation ( Fichtengolz' sætning ). $f(x)$ $[a,b]$ $F(y)$ $f(x)$ $F[f(x)]$

Hver absolut kontinuerlig funktion har Luzin-egenskaben .
En variation af en absolut kontinuert funktion er absolut kontinuert. $V_{a}^{x}(f)$ $f$
Lad og være absolut kontinuerlig på , så er den klassiske formel for integration af dele gyldig for dem. $f$ $g$ $[a,b]$
Lad det være differentierbart på hvert punkt i segmentet (det er vigtigt at præcist på hvert punkt), og være integrerbar på i betydningen Lebesgue, så vær absolut kontinuerlig. $f$ $[a,b]$ $f'$ $[a,b]$ $f$

Eksempler

Enhver Lipschitz-funktion er absolut kontinuerlig.

Følgende funktioner er kontinuerlige, men ikke absolut kontinuerlige

Kantorfunktionen ;
fungere

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{ sager}}

på endelige intervaller indeholdende 0;

funktion på ubegrænsede intervaller. $f(x)=x^{2}$

Se også

Noter

↑ Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Virkelig og funktionel analyse: universitetskursus. - M.-Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", Institute of Computer Research, 2009. - S. 188. - 724 s. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Litteratur

Nikolsky S.M. Kursus i matematisk analyse. - 3. — M .: Nauka , 1983 . - T. 2. - 544 s. — ISBN 5-02-014425-8 .
Shilov G.E. Matematisk analyse. Særligt kursus. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 s.