Eulers rotationssætning
Eulers rotationssætning siger, at enhver bevægelse af et stivt legeme i tredimensionelt rum, der har et fast punkt, er en rotation af kroppen omkring en eller anden akse. En rotation kan således beskrives med tre koordinater : to koordinater for rotationsaksen (såsom breddegrad og længdegrad ) og en rotationsvinkel.
For en given vinkel og en enhedsvektor betegner vi rotationen i retningen af vektoren n mod uret med vinklen . Derefter:
- er identitetskortlægningen for evt
For enhver rotation er der en enkelt vinkel , som , mens:
- er entydigt defineret hvis ;
- enhver, ;
- er defineret entydigt op til tegn hvis (dvs. rotationerne er de samme).
Rotationsgruppens geometri
Euler-repræsentationen giver mulighed for at studere topologien af rotationsgruppen i et tredimensionelt rum (gruppe SO(3) ). For at gøre dette skal du overveje en kugle centreret ved oprindelsen af koordinater med radius π.
Enhver rotation gennem en vinkel mindre end π definerer et enkelt punkt inde i bolden (retningen definerer retningen af rotationsaksen, og vinklen definerer afstanden fra origo). Rotation gennem vinklen π svarer til to modsatte punkter på kuglens overflade.
Således er en kugle med identificerede modsatte punkter af kuglen homøomorf til gruppen SO(3).