Tyngdekraft

Tyngdekraft ( attraktion , universel gravitation , gravitation ) (af lat. gravitas - "tyngdekraft") er en universel fundamental vekselvirkning mellem materielle legemer, der har masse . I tilnærmelsen af små hastigheder sammenlignet med lysets hastighed og en svag tyngdekraftsinteraktion er det beskrevet af Newtons gravitationsteori , i det generelle tilfælde er det beskrevet af Einsteins generelle relativitetsteori . I kvantegrænsen er gravitationsinteraktionen angiveligt beskrevet af kvanteteorien om gravitation , som endnu ikke er udviklet.

Tyngdekraften spiller en ekstremt vigtig rolle i universets struktur og udvikling (etablering af et forhold mellem universets tæthed og hastigheden af dets ekspansion) [1] , der definerer nøglebetingelserne for balancen og stabiliteten af astronomiske systemer [2] . Uden tyngdekraften ville der ikke være planeter, stjerner, galakser, sorte huller i universet [3] . Gravitationssammentrækning er hovedkilden til energi i de senere stadier af stjernernes udvikling (hvide dværge, neutronstjerner, sorte huller). [fire]

Ifølge den generelle relativitetsteori er gravitationsinteraktionen invariant under C-symmetri , P-symmetri og T-symmetri [5]

Gravitationsattraktion

Inden for rammerne af den klassiske mekanik er gravitationsattraktion beskrevet af Newtons lov om universel gravitation , som siger, at gravitationstiltrækningen mellem to materielle massepunkter og , adskilt af en afstand , er proportional med begge masser og omvendt proportional med kvadratet af afstand: $m_1$ $m_2$ $r$

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.

Her er gravitationskonstanten , lig med omkring 6,67⋅10 −11 m³/(kg s²) [6] [7] . Denne lov er opfyldt i tilnærmelsen ved lave hastigheder sammenlignet med lysets hastighed og svage tyngdekraftsinteraktion (hvis for det undersøgte objekt, placeret i en afstand fra masselegemet , værdien [8] ). Generelt er tyngdekraften beskrevet af Einsteins generelle relativitetsteori . $G$ $v \ll c$ $R$ $M$ ${\frac {GM}{c^{2}R}}\ll 1$

Loven om universel gravitation er en af anvendelserne af den omvendte kvadratlov , som også forekommer i studiet af stråling (for eksempel lystryk ) og er en direkte konsekvens af den kvadratiske stigning i området af kugle med stigende radius, hvilket fører til et kvadratisk fald i bidraget af enhver enhedsareal til arealet af hele kuglen.

Tyngdefeltet såvel som gravitationsfeltet er potentielt . Det betyder, at tiltrækningskraftens arbejde ikke afhænger af typen af bane, men kun af start- og slutpunkterne . Tilsvarende: det er muligt at introducere den potentielle energi af gravitationsattraktionen af et par kroppe, og denne energi vil ikke ændre sig efter at have bevæget kroppene langs en lukket kontur. Potentialiteten af gravitationsfeltet medfører loven om bevarelse af summen af kinetisk og potentiel energi, og når man studerer legemers bevægelse i et gravitationsfelt, forenkler det ofte løsningen meget. Inden for rammerne af den newtonske mekanik er gravitationsinteraktionen lang rækkevidde . Det betyder, at uanset hvordan et massivt legeme bevæger sig, på et hvilket som helst tidspunkt i rummet, afhænger gravitationspotentialet kun af kroppens position på et givet tidspunkt.

Store rumobjekter - planeter, stjerner og galakser - har en enorm masse og skaber derfor betydelige gravitationsfelter.

Tyngdekraften er den svageste kraft. Men da det virker på alle afstande, og alle masser er positive, er det ikke desto mindre en meget vigtig handling i universet. Især den elektromagnetiske interaktion mellem legemer på en kosmisk skala er lille, da den samlede elektriske ladning af disse legemer er nul (stoffet som helhed er elektrisk neutralt).

Også tyngdekraften, i modsætning til andre interaktioner, er universel i sin virkning på alt stof og energi. Der er ikke fundet genstande, som overhovedet ikke har nogen gravitationsinteraktion.

På grund af sin globale natur er tyngdekraften ansvarlig for så store effekter som strukturen af galakser, sorte huller og udvidelsen af universet og for elementære astronomiske fænomener - planeternes kredsløb, og for simpel tiltrækning til Jordens overflade og faldende kroppe.

Tyngdekraften var den første interaktion beskrevet af en matematisk teori. Aristoteles (4. århundrede f.Kr.) mente, at genstande med forskellig masse falder med forskellig hastighed. Og først meget senere (1589) bestemte Galileo Galilei eksperimentelt, at det ikke er tilfældet - hvis luftmodstanden elimineres, accelererer alle kroppe lige meget. Isaac Newtons tyngdelov (1687) var en god beskrivelse af tyngdekraftens generelle adfærd. I 1915 skabte Albert Einstein den generelle relativitetsteori , der beskrev tyngdekraften mere præcist i form af rumtidsgeometri.

Himmelmekanik og nogle af dens opgaver

Den gren af mekanikken , der kun studerer legemers bevægelse i det tomme rum under påvirkning af tyngdekraften, kaldes himmelmekanik .

Himmelmekanikkens enkleste opgave er tyngdekraftens vekselvirkning mellem to punkt- eller sfæriske legemer i det tomme rum. Dette problem inden for den klassiske mekaniks rammer løses analytisk i lukket form; resultatet af dets løsning er ofte formuleret i form af Keplers tre love .

Efterhånden som antallet af interagerende kroppe stiger, bliver problemet meget mere kompliceret. Så det allerede berømte tre-legeme-problem (det vil sige bevægelsen af tre legemer med ikke-nul-masser) kan ikke løses analytisk i en generel form. Med en numerisk løsning indtræder ustabiliteten af løsningerne i forhold til startbetingelserne dog ret hurtigt. Når den anvendes på solsystemet , gør denne ustabilitet det umuligt nøjagtigt at forudsige planeternes bevægelse på skalaer, der overstiger hundrede millioner år.

I nogle særlige tilfælde er det muligt at finde en omtrentlig løsning. Det vigtigste er tilfældet, når massen af et legeme er væsentligt større end massen af andre kroppe (eksempler: solsystemet og dynamikken i Saturns ringe ). I dette tilfælde, i den første tilnærmelse, kan vi antage, at lyslegemer ikke interagerer med hinanden og bevæger sig langs Keplerske baner omkring en massiv krop. Interaktioner mellem dem kan tages i betragtning inden for rammerne af perturbationsteori og gennemsnittet over tid. I dette tilfælde kan der opstå ikke-trivielle fænomener, såsom resonanser , attraktorer , tilfældigheder osv. Et godt eksempel på sådanne fænomener er den komplekse struktur af Saturns ringe.

På trods af forsøg på nøjagtigt at beskrive adfærden af et system af et stort antal tiltrækkende kroppe af omtrent samme masse, kan dette ikke lade sig gøre på grund af fænomenet dynamisk kaos .

Stærke gravitationsfelter

I stærke gravitationsfelter (såvel som når man bevæger sig i et gravitationsfelt med relativistiske hastigheder ), begynder virkningerne af generel relativitet (GR) at vise sig:

ændring i rum-tidens geometri ;
- som en konsekvens af tyngdelovens afvigelse fra den newtonske
- og i ekstreme tilfælde, fremkomsten af sorte huller ;
potentiel forsinkelse forbundet med den endelige udbredelseshastighed af gravitationsforstyrrelser ;
- som en konsekvens, udseendet af gravitationsbølger;
ikke-linearitetseffekter: gravitationsfelter har en tendens til at "interferere" med hinandens intensitet, så princippet om superposition i stærke felter er ikke længere gyldigt.

Gravitationsstråling

En af de vigtige forudsigelser af den generelle relativitetsteori er gravitationsstråling , hvis tilstedeværelse blev bekræftet af direkte observationer i 2015 [9] . Men endnu tidligere var der tungtvejende indirekte beviser for dets eksistens, nemlig: energitab i tætte binære systemer indeholdende kompakte graviterende objekter (såsom neutronstjerner eller sorte huller ), især opdaget i 1979 i det berømte system PSR B1913 + 16 (Hulse-Taylor pulsar) er i god overensstemmelse med den generelle relativitetsmodel, hvor denne energi bliver båret væk netop af gravitationsstråling [10] .

Gravitationsstråling kan kun genereres af systemer med variabel quadrupol eller højere multipolmomenter , dette faktum tyder på, at gravitationsstrålingen fra de fleste naturlige kilder er retningsbestemt, hvilket i betydelig grad komplicerer dets påvisning. Kraften af gravitationsfeltkilden er proportional med, hvis multipolen er af den elektriske type, og hvis multipolen er af den magnetiske type [11] , hvor er den karakteristiske hastighed for kilderne i det udstrålende system, og er hastigheden af lys i vakuum. Således vil det dominerende moment være quadrupolmomentet af den elektriske type, og kraften af den tilsvarende stråling er lig med: $n$ $(v/c)^{2n + 2}$ $(v/c)^{2n + 4}$ $v$ $c$

L = \frac{1}{5}\frac{G}{c^5}\left\langle \frac{d^3 Q_{ij}}{dt^3} \frac{d^3 Q^{ij }}{dt^3}\right\rangle,

hvor er tensoren af quadrupolmomentet af massefordelingen af det udstrålende system. Konstanten (1/W) gør det muligt at estimere størrelsesordenen af strålingseffekten. $Q_{ij}$ ${\frac {G}{c^{5}}}=2{,}76\cdot 10^{-53}$

Begyndende i 1969 ( Webers eksperimenter ), bygges gravitationsstrålingsdetektorer. I USA, Europa og Japan er der i øjeblikket flere aktive jordbaserede detektorer ( LIGO , VIRGO , TAMA , GEO 600 ), samt LISA (Laser Interferometer Space Antenna ) rumgravitationsdetektorprojektet . En jordbaseret detektor i Rusland er ved at blive udviklet på det videnskabelige center for gravitationsbølgeforskning " Dulkyn " [12] i Republikken Tatarstan .

Subtile virkninger af tyngdekraften

Ud over de klassiske effekter af gravitationel tiltrækning og tidsudvidelse forudsiger den generelle relativitetsteori eksistensen af andre manifestationer af gravitation, som er meget svage under jordiske forhold, og derfor er deres påvisning og eksperimentel verifikation meget vanskelig. Indtil for nylig virkede overvindelsen af disse vanskeligheder ud over forsøgsledernes evner.

Blandt dem kan man især nævne indblandingen af inertielle referencesystemer (eller Lense-Thirring-effekten) og det gravitomagnetiske felt . I 2005 gennemførte NASAs Gravity Probe B et eksperiment med hidtil uset nøjagtighed for at måle disse effekter nær Jorden. Behandling af de opnåede data blev udført indtil maj 2011 og bekræftede eksistensen og omfanget af virkningerne af geodætisk præcession og træk af inertielle referencerammer, dog med en nøjagtighed lidt mindre end oprindeligt antaget.

Efter intensivt arbejde med analyse og udvinding af målestøj blev de endelige resultater af missionen annonceret på en pressekonference på NASA-TV den 4. maj 2011 og offentliggjort i Physical Review Letters [13] . Den målte værdi af den geodætiske præcession var -6601,8±18,3 ms /år, og trækeffekten var -37,2±7,2 ms / år (sammenlign med de teoretiske værdier på -6606,1 mas /år og -39,2mas/år ) .

Klassiske teorier om tyngdekraften

På grund af det faktum, at tyngdekraftens kvanteeffekter er ekstremt små selv under de mest ekstreme og observerbare forhold, er der stadig ingen pålidelige observationer af dem. Teoretiske skøn viser, at man i langt de fleste tilfælde kan begrænse sig til den klassiske beskrivelse af gravitationsinteraktionen.

Der er en moderne kanonisk [14] klassisk gravitationsteori - den generelle relativitetsteori , og en masse hypoteser og teorier, der forfiner den med varierende udviklingsgrader, der konkurrerer med hinanden. Alle disse teorier giver meget lignende forudsigelser inden for den tilnærmelse, hvori eksperimentelle tests i øjeblikket udføres. Følgende er nogle af de vigtigste, mest veludviklede eller kendte teorier om tyngdekraft.

Generel relativitetsteori

I standardtilgangen for den generelle relativitetsteori (GR) betragtes tyngdekraften i første omgang ikke som en kraftinteraktion, men som en manifestation af rumtidens krumning. Således fortolkes tyngdekraften i generel relativitet som en geometrisk effekt, og rum-tid betragtes inden for rammerne af ikke-euklidisk riemannsk (mere præcist, pseudo-riemannsk) geometri . Tyngdefeltet (en generalisering af det Newtonske gravitationspotentiale), nogle gange også kaldet gravitationsfeltet, er generelt relativitetsteori identificeret med det metriske tensorfelt - metrikken for firedimensionel rumtid, og tyngdefeltets intensitet - med den affine forbindelse af rum-tid, bestemt af metrikken.

Standardopgaven for generel relativitetsteori er at bestemme komponenterne i den metriske tensor, som tilsammen bestemmer rumtidens geometriske egenskaber, ud fra den kendte fordeling af energi-momentumkilder i det firedimensionale koordinatsystem, der er under overvejelse. Til gengæld giver viden om metrikken mulighed for at beregne bevægelsen af testpartikler, hvilket svarer til at kende egenskaberne for gravitationsfeltet i et givet system. I forbindelse med GR-ligningernes tensor-karakter, samt med den grundlæggende grundlæggende begrundelse for dens formulering, menes det, at tyngdekraften også har en tensor-karakter. En af konsekvenserne er, at gravitationsstrålingen mindst skal være af kvadrupol-ordenen.

Det er kendt, at der er vanskeligheder i den generelle relativitetsteori på grund af ikke-invariansen af tyngdefeltets energi, da denne energi ikke er beskrevet af en tensor og teoretisk kan bestemmes på forskellige måder. I klassisk generel relativitetsteori opstår også problemet med at beskrive spin-kredsløbsinteraktionen (da spin af et udvidet objekt heller ikke har en unik definition). Det menes, at der er visse problemer med resultaternes unikke karakter og berettigelsen af konsistens (problemet med gravitationelle singulariteter ).

Imidlertid er eksperimentelt generel relativitet blevet bekræftet indtil for ganske nylig ( 2012 ). Derudover fører mange alternative til Einsteinske, men standard for moderne fysik, tilgange til formuleringen af tyngdekraftsteorien til et resultat, der falder sammen med den generelle relativitetsteori i lavenergitilnærmelsen, som er den eneste tilgængelig nu til eksperimentel verifikation.

Einstein-Cartan-teorien

Einstein-Cartan (EC) teorien blev udviklet som en udvidelse af den generelle relativitetsteori, internt inkluderende en beskrivelse af indvirkningen på rum-tid, foruden energi-momentum, også genstandes spin [15] . I EC-teorien introduceres affin torsion , og i stedet for pseudo-Riemannsk geometri for rum-tid, bruges Riemann-Cartan-geometri . Som et resultat går de fra den metriske teori til den affine teori om rum-tid. De resulterende ligninger til beskrivelse af rum-tid falder i to klasser: en af dem ligner den generelle relativitetsteori, med den forskel at krumningstensoren inkluderer komponenter med affin torsion; den anden klasse af ligninger definerer forholdet mellem torsionstensoren og spintensoren af stof og stråling.
De resulterende korrektioner til den generelle relativitetsteori, under betingelserne i det moderne univers, er så små, at selv hypotetiske måder at måle dem på endnu ikke er synlige.

Brans-Dicke teorien

I skalar-tensor-teorier, hvoraf den mest berømte er Brans-Dicke (eller Jordan-Brans-Dicke) teorien, bestemmes gravitationsfeltet som en effektiv rum-tid-metrik af påvirkningen af ikke kun energi-momentum-tensoren af stof, som i generel relativitetsteori, men også et ekstra gravitationelt skalarfelt. Den foldede energi-momentum-tensor af stof anses for at være kilden til skalarfeltet. Derfor er skalar-tensor-teorier som GR og RTG (Relativistic Theory of Gravity) metriske teorier, der forklarer tyngdekraften ved kun at bruge rum-tidsgeometrien og dens metriske egenskaber. Tilstedeværelsen af et skalarfelt fører til to grupper af ligninger for gravitationsfeltkomponenterne: en for metrikken, den anden for skalarfeltet. Brans-Dicke-teorien kan på grund af tilstedeværelsen af et skalarfelt også betragtes som værende i en femdimensionel mangfoldighed bestående af rumtid og et skalarfelt [16] .

En lignende opdeling af ligninger i to klasser finder også sted i RTG, hvor den anden tensorligning introduceres for at tage højde for sammenhængen mellem det ikke-euklidiske rum og Minkowski-rummet [17] . På grund af tilstedeværelsen af en dimensionsløs parameter i Jordan-Brance-Dicke-teorien, bliver det muligt at vælge det, så teoriens resultater falder sammen med resultaterne af gravitationseksperimenter. Samtidig, da parameteren tenderer mod det uendelige, bliver teoriens forudsigelser tættere og tættere på den generelle relativitetsteori, så det er umuligt at tilbagevise Jordan-Brance-Dicke-teorien med ethvert eksperiment, der bekræfter den generelle relativitetsteori.

Kvanteteorien om gravitation

På trods af mere end et halvt århundredes forsøg er tyngdekraften den eneste grundlæggende interaktion, som en generelt accepteret konsekvent kvanteteori endnu ikke er blevet bygget til . Ved lave energier, i kvantefeltteoriens ånd , kan gravitationsinteraktionen repræsenteres som en udveksling af gravitoner - gauge bosoner med spin 2. Den resulterende teori er imidlertid ikke renormaliserbar og anses derfor for utilfredsstillende.

I de seneste årtier er der udviklet flere lovende tilgange til at løse problemet med kvantisering af tyngdekraften: strengteori , sløjfekvantetyngdekraft og andre.

Strengteori

I det, i stedet for partikler og baggrundsrum-tid, vises strenge og deres multidimensionelle modstykker, braner . For højdimensionelle problemer er braner højdimensionelle partikler, men set ud fra det synspunkt af partikler, der bevæger sig inde i disse braner, er de rum-tidsstrukturer. En variant af strengteori er M-teori .

Sløjfe kvantetyngdekraft

Den forsøger at formulere en kvantefeltteori uden reference til rum-tidsbaggrunden, rum og tid består ifølge denne teori af diskrete dele. Disse små kvanteceller i rummet er forbundet med hinanden på en bestemt måde, så de på små skalaer af tid og længde skaber en farverig, diskret struktur af rummet, og på store skalaer bliver de jævnt til en kontinuerlig jævn rumtid. Selvom mange kosmologiske modeller kun kan beskrive universets opførsel fra Planck-tiden efter Big Bang , kan loop-kvantetyngdekraften beskrive selve eksplosionsprocessen og endda se tidligere ud. Løkkekvantetyngdekraften gør det muligt at beskrive alle standardmodelpartikler uden at kræve introduktion af Higgs-bosonen for at forklare deres masser .

Kausal dynamisk triangulering

Kausal dynamisk triangulering - rum- tidsmanifolden i den er bygget af elementære euklidiske simplicer ( trekant , tetraeder , pentachore ) af Planck - ordensdimensioner , under hensyntagen til kausalitetsprincippet . Firedimensionalitet og pseudo- euklidisk rumtid på makroskopisk skala er ikke postuleret i den, men er en konsekvens af teorien.

Tyngdekraften i mikrokosmos

Tyngdekraften i mikrokosmos ved lave energier af elementarpartikler er mange størrelsesordener svagere end andre fundamentale interaktioner. Således er forholdet mellem kraften af gravitationsinteraktionen af to protoner i hvile og kraften af den elektrostatiske interaktion lig med . $10^{-36}$

For at sammenligne loven om universel gravitation med Coulombs lov kaldes mængden gravitationsladningen. I kraft af princippet om ækvivalens af masse og energi er gravitationsladningen lig med . Tyngdekraftens vekselvirkning bliver ens i styrke med den elektromagnetiske, når tyngdekraftens ladning er lig med den elektriske , det vil sige ved GeV-energier , som stadig er uopnåelige på elementarpartikelacceleratorer. [18] [19] ${\sqrt {G_{N}}}m$ ${\displaystyle {\sqrt {G_{N))}{\frac {E}{c^{2))))$ ${\sqrt {G_{N}}}{\frac {E}{c^{2}}}=e$ $E={\frac {ec^{2}}{\sqrt {G_{N}}}}=10^{18}$

Det antages, at gravitationsinteraktionen var lige så stærk som de øvrige interaktioner i de første sekunder efter Big Bang [20] . $10^{-43}$

Noter

↑ Weinberg S. De første tre minutter. — M.: Energoizdat, 1981. — S. 135.
↑ Narlikar J. Rasende univers. - M .: Mir, 1985. - S. 25. - Oplag 100.000 eksemplarer.
↑ Narlikar J. Tyngdekraft uden formler. - M .: Mir, 1985. - S. 144. - Oplag 50.000 eksemplarer.
↑ Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. Mekanik. - M., Nauka, 1979. - Oplag 50.000 eksemplarer. - Med. 311.
↑ V. Pauli Overtrædelse af spejlsymmetri i atomfysikkens love // Teoretisk fysik i det 20. århundrede. Til minde om Wolfgang Pauli. - M., IL, 1962. - s. 383
↑ Forbedret bestemmelse af G ved hjælp af to metoder // Phys. Rev. Lett. 111, 101102 (2013), DOI:10.1103/PhysRevLett.111.101102
↑ G. Rosi, F. Sorrentino, L. Cacciapuoti, M. Prevedelli, G.M. Tino. Præcisionsmåling af den newtonske gravitationskonstant ved hjælp af kolde atomer . Natur (18. juni 2014). (ubestemt)
↑ Narlikar J. Rasende univers. - M .: Mir, 1985. - S. 70. - Oplag 100.000 eksemplarer.
↑ LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration, B. P. Abbott, R. Abbott, T. D. Abbott, M. R. Abernathy. Observation af gravitationsbølger fra en binær sort hul-fusion // Physical Review Letters. — 2016-02-11. - T. 116 , no. 6 . - S. 061102 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.116.061102 .
↑ Narlikar J. Tyngdekraft uden formler. - M .: Mir, 1985. - S. 87. - Oplag 50.000 eksemplarer.
↑ Se artiklen gravitomagnetisme for en analogi mellem et svagt gravitationsfelt og et elektromagnetisk felt .
↑ Scientific Center for Gravitational Wave Research "Dulkyn" Arkivkopi af 25. september 2006 på Wayback Machine
↑ CWF Everitt et al . Gravity Probe B: Endelige resultater af et rumeksperiment til at teste generel relativitetsteori , Physical Review Letters (1. maj 2011). Hentet 6. maj 2011.
↑ Denne teori er kanonisk i den forstand, at den er den mest veludviklede og udbredte i moderne himmelmekanik , astrofysik og kosmologi , og antallet af pålideligt etablerede eksperimentelle resultater, der modsiger den, er næsten nul.
↑ Ivanenko D. D. , Pronin P. I., Sardanashvili G. A. Gauge theory of gravitation. — M.: Udg. Moscow State University, 1985.
↑ Brans, CH; Dicke, RH (1. november 1961). "Machs princip og en relativistisk gravitationsteori". Physical Review 124(3): 925-935. DOI:10.1103/PhysRev.124.925. Hentet 2006-09-23.
↑ Fra et ortodokst synspunkt er denne ligning en koordinattilstand.
↑ Yavorsky B. M., Detlaf A. A., Lebedev A. K. Håndbog i fysik for ingeniører og universitetsstuderende. - M .: Oniks, 2007. - S. 948. - ISBN 978-5-488-01248-6 - Oplag 5100 eksemplarer.
↑ Narlikar J. Tyngdekraft uden formler. - M .: Mir, 1985. - S. 145. - Oplag 50.000 eksemplarer.
↑ Weinberg S. De første tre minutter. — M.: Energoizdat, 1981. — S. 136.

Litteratur

Vizgin V. P. Relativistisk gravitationsteori (oprindelse og dannelse, 1900-1915). — M.: Nauka, 1981. — 352c.
Vizgin V.P. Forenede teorier i den 1. tredjedel af det 20. århundrede. — M.: Nauka, 1985. — 304c.
Ivanenko D. D. , Sardanashvili G. A. Gravity. 3. udg. — M.: URSS, 2008. — 200s.
Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. — M.: Mir, 1977.
Thorn K. Sorte huller og folder af tid. Einsteins dristige arv. - M .: Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 2009.
Halliday, David; Robert Resnick; Kenneth S. Krane. Fysik v. 1. - New York: John Wiley & Sons , 2001. - ISBN 978-0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Fysik for videnskabsmænd og ingeniører . — 6. - Brooks/Cole, 2004. - ISBN 978-0-534-40842-8 .
Tipler, Paul. Fysik for videnskabsmænd og ingeniører : Mekanik, svingninger og bølger, termodynamik . — 5. — W. H. Freeman, 2004. - ISBN 978-0-7167-0809-4 .