Pauli princippet

Pauli udelukkelsesprincippet ( Pauli udelukkelsesprincippet eller blot udelukkelsesprincippet ) er et kvantemekanisk princip, der siger, at to eller flere identiske fermioner (partikler med halvt heltals spin ) ikke samtidigt kan være i samme kvantetilstand i et kvantesystem . Dette princip blev formuleret af den østrigske fysiker Wolfgang Pauli i 1925 for elektroner og derefter udvidet til alle fermioner i hans spin-statistik-sætning i 1940 [1] .

For elektroner i atomer kan det formuleres som følger: Det er umuligt for to elektroner i et multi-elektronatom at have de samme værdier af de fire kvantetal n , ( hovedkvantetal ), l (orbital ) kvantetal) , m (magnetisk kvantetal) og m s . ( spinprojektionskvantetallet ). For eksempel, hvis to elektroner er i samme orbital , så er deres værdier for tredobbelt af kvantetal n, l, m  de samme, så værdierne af m s skal være forskellige, og dermed skal elektronerne have modsatte spin fremspring 1/2 og −1/2 (i enheder af h).

Integer-spin-partikler eller bosoner er ikke underlagt Pauli-udelukkelsesprincippet: et hvilket som helst antal identiske bosoner kan indtage den samme kvantetilstand, som det for eksempel er tilfældet med fotoner af laserstråling eller atomer i et Bose-Einstein-kondensat .

En mere stringent erklæring vedrører udvekslingen af ​​to identiske partikler: den samlede (mange-partikel) bølgefunktion er antisymmetrisk for fermioner og symmetrisk for bosoner. Dette betyder, at hvis de rumlige og spin-koordinater for to identiske (identiske) partikler ombyttes , så skifter den samlede bølgefunktion fortegn for fermioner og ændrer ikke fortegn for bosoner.

Hvis to fermioner var i samme tilstand (for eksempel i samme kredsløb af et atom med samme spin), ville deres omlejring ikke ændre noget, og den samlede bølgefunktion ville ikke ændre sig. Den eneste mulighed for, at den totale bølgefunktion kan ændre fortegn, som det kræves for fermioner, og forblive uændret, er, hvis den er lig med nul i hele definitionsdomænet, hvilket betyder, at der ikke er en sådan tilstand. Dette ræsonnement gælder ikke for bosoner, fordi tegnet for den samlede bølgefunktion ikke ændres.

Pauli-princippet kan formuleres som følger: inden for et kvantesystem kan kun én fermion være i en given kvantetilstand, og en andens tilstand skal afvige med mindst ét ​​kvantetal . I statistisk fysik er Pauli-princippet nogle gange formuleret i form af besættelsesnumre : i et system af identiske partikler beskrevet af en antisymmetrisk bølgefunktion, kan besættelsesnumrene kun have to værdier . Der er ingen klassisk analog til Pauli-princippet [2] .

Oversigt

Pauli udelukkelsesprincippet beskriver adfærden af ​​alle fermioner (partikler med "halvt heltals spin "), mens bosoner (partikler med "heltals spin") adlyder forskellige principper. Fermioner omfatter elementære partikler såsom kvarker , elektroner og neutrinoer . Derudover er baryoner, subatomære partikler sammensat af tre kvarker såsom protoner og neutroner og nogle atomer (f.eks . helium-3 ) fermioner og derfor også underlagt udelukkelsesprincippet. Atomer kan have forskellige totale "spin", der afgør, om de er fermioner eller bosoner - for eksempel har helium-3 et spin på 1/2 og er derfor en fermion, i modsætning til helium-4, der har et spin på 0 og er en boson . [3] :123-125 Således ligger Pauli-udelukkelsesprincippet til grund for mange egenskaber ved dagligt stof, fra dets stabilitet i stor skala til atomernes kemiske adfærd .

"Halv-heltalsspin" betyder, at værdien af ​​fermionernes iboende vinkelmomentum er (reduceret Plancks konstant) ganget med et halvt heltal (1/2, 3/2, 5/2 osv.). I kvantemekanikken er fermioner beskrevet ved antisymmetriske tilstande . I modsætning hertil har heltalsspin-partikler symmetriske bølgefunktioner; i modsætning til fermioner kan de have de samme kvantetal. Bosoner omfatter fotonen , Cooper-parrene , der er ansvarlige for superledning , og W- og Z-bosonerne. (Fermioner får deres navn fra den statistiske Fermi-Dirac-fordeling , de adlyder, mens bosoner får deres navn fra Bose-Einstein-fordelingen ).

Historie

I begyndelsen af ​​det 20. århundrede blev det klart, at atomer og molekyler med et lige antal elektroner var mere kemisk stabile end dem med et ulige antal elektroner. I Gilbert N. Lewis ' papir fra 1916 "The Atom and the Molecule", for eksempel, siger det tredje af hans seks postulater om kemisk adfærd, at atomet har en tendens til at holde et lige antal elektroner i en given skal, og især at holde otte elektroner, som menes normalt at være anbragt symmetrisk i terningens otte hjørner. [4] I 1919 foreslog kemiker Irving Langmuir , at den periodiske lov kunne forklares, hvis elektronerne i et atom var forbundet eller klyngede på en eller anden måde. Grupper af elektroner mentes at optage et sæt elektronskaller omkring kernen. [5] I 1922 udviklede Niels Bohr sin model af atomet ved at antage, at et vist antal elektroner (f.eks. 2, 8 og 18) svarede til stabile "lukkede skaller". [6] :203

Pauli søgte en forklaring på disse tal, som først var rent empiriske . Samtidig forsøgte han at forklare de eksperimentelle resultater af Zeeman-effekten i atomspektroskopi og i ferromagnetisme . Han fandt et vigtigt spor i et papir fra 1924 af Edmund Stoner , som indikerede, at for en given værdi af det vigtigste kvantetal ( n ), antallet af energiniveauer af en enkelt elektron i spektrene af et alkalimetal i et eksternt magnetfelt , hvor alle degenererede energiniveauer er adskilt, er lig med antallet af elektroner i den lukkede skal af ædelgasser for samme værdi af n . Dette fik Pauli til at indse, at det komplekse antal elektroner i lukkede skaller kan reduceres til en simpel regel for én elektron pr. tilstand, hvis de elektroniske tilstande er defineret ved hjælp af fire kvantetal. Til dette formål introducerede han et nyt tocifret kvantetal, identificeret af Samuel Goudsmit og George Uhlenbeck som elektronens spin . [7] [8]

Forholdet til kvantetilstandens symmetri

Pauli udelukkelsesprincippet med en enkelt-værdi mange-partikel bølgefunktion svarer til kravet om, at bølgefunktionen skal være antisymmetrisk med hensyn til partikeludveksling . Hvis og løber gennem basisvektorerne i Hilbertrummet, der beskriver et en-partikelsystem, så giver deres tensorprodukt basisvektorerne for Hilbertrummet, der beskriver et system af to sådanne partikler. Enhver to-partikeltilstand kan repræsenteres som en superposition (det vil sige summen) af disse basisvektorer:

hvor hver kompleks faktor A ( x , y )  er en skalar koefficient. Antisymmetri i partikeludveksling betyder, at A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Det følger heraf, at A ( x , y ) = 0 når x = y , hvilket betegner den matematiske formulering af Pauli-udelukkelsesprincippet. Dette gælder for ethvert grundlag, da lokale ændringer af grundlaget holder antisymmetriske matricer antisymmetriske.

Omvendt, hvis de diagonale størrelser A ( x , x ) er nul i hver basis , så er bølgefunktionskomponenten

er nødvendigvis antisymmetrisk. For at bevise dette skal du overveje matrixelementet

På den ene side er dette udtryk lig med nul, fordi to partikler har nul sandsynlighed for at være i en superpositionstilstand. . Men det er også det samme

Det første og sidste led er diagonale elementer og er lig med nul, og hele summen er lig med nul. Således adlyder elementerne i matrixen af ​​bølgefunktioner:

eller

For et system med n > 2 partikler bliver mange-partikel- basistilstande n - fold tensorprodukter af en-partikel-basistilstande, og bølgefunktionskoefficienterne er givet af n en-partikeltilstande. Antisymmetri-betingelsen siger, at koefficienterne skal ændre deres fortegn, hver gang to tilstande ændres: for ethvert par . Eksklusionsprincippet er en konsekvens af det faktum, at hvis for nogen så betyder, at ingen af ​​de n partikler kan være i samme kvantetilstand.

Avanceret kvanteteori

Ifølge spin-statistik-sætningen beskrives kvantetilstandene for partikler med heltalsspin ved symmetriske bølgefunktioner, og kvantetilstandene for partikler med halvheltalsspin er beskrevet af antisymmetriske bølgefunktioner. Desuden tillader kvantemekanikkens principper eksistensen af ​​kun heltals- og halvheltalsværdier af spindet (i tredimensionelt rum). I relativistisk kvantefeltteori følger Pauli-princippet fra anvendelsen af ​​rotationsoperatoren i imaginær tid på partikler med halvt heltals spin.

I én dimension adlyder bosoner ligesom fermioner også udelukkelsesprincippet. En endimensionel Bose-gas med uendelige frastødende delta-funktioner svarer til en gas af frie fermioner. Grunden til dette er, at i én dimension kræver udvekslingen af ​​partikler, at de passerer gennem hinanden; med en uendelig stærk frastødning kan dette ikke ske. En sådan model er beskrevet af den kvante ikke-lineære Schrödinger-ligning . I momentumrummet er Pauli-udelukkelsesprincippet også gyldigt for endelig frastødning i en Bose-gas med delta-funktionelle interaktioner [9] såvel som for interagerende spins , den endimensionelle Hubbard-model , og også for andre modeller, der kan løses ved hjælp af Bethe ansatz . Grundtilstanden i modeller , der kan løses af Bethe-ansatzen, er repræsenteret af Fermi-sfæren .

Ansøgninger

Atomer

Pauli udelukkelsesprincippet hjælper med at forklare en lang række fysiske fænomener. En af de vigtigste konsekvenser af dette princip er den komplekse struktur af atomernes elektronskal og den måde, elektroner udveksles mellem atomer, hvilket forklarer mangfoldigheden af ​​kemiske grundstoffer og deres kemiske forbindelser. I et elektrisk neutralt atom er antallet af bundne elektroner lig med antallet af protoner i kernen . Elektroner, som er fermioner, kan ikke være i samme kvantetilstand som andre elektroner, så elektroner skal have forskellige spins, når de er i den samme elektronorbital, som beskrevet nedenfor.

Et eksempel er det neutrale heliumatom , som har to bundne elektroner, som hver kan indtage de laveste energitilstande ( 1s ), og dermed opnå modsatte spins. Da spindet er en del af elektronens kvantetilstand, er de to elektroner i forskellige kvantetilstande og overtræder ikke Pauli-princippet. Et spin kan dog kun antage to forskellige værdier ( egenværdier ). I et lithiumatom med tre bundne elektroner kan den tredje elektron ikke være i 1s tilstand og skal i stedet indtage en af ​​de højere energi 2s tilstande. Ligeledes bør successivt tungere grundstoffer have højere energiskaller. De kemiske egenskaber af et grundstof afhænger i høj grad af antallet af elektroner i den ydre skal. Atomer med et forskelligt antal optagede elektronskaller, men med det samme antal elektroner i den ydre skal, har lignende egenskaber, hvilket ligger til grund for kemiske grundstoffers egenskaber [10] :214–218 .

For at teste Pauli-udelukkelsesprincippet for He-atomet, beregnede Gordon Drake [11] meget nøjagtigt energierne af de hypotetiske tilstande af He-atomet, der overtræder det, de såkaldte paron-tilstande (parafermion-tilstande) . Senere K. Deilamian et al. [12] brugte et atomstrålespektrometer til at søge efter 1s2s 1 S 0 damptilstanden beregnet af Drake. Søgningen viste sig at være mislykket og viste, at den statistiske vægt af denne parontilstand har en øvre grænse på 5x10 −6 . (Eksklusionsprincippet indebærer nul vægt.)

Egenskaber for en stiv krop

I ledere og halvledere er der et meget stort antal molekylære orbitaler , der effektivt danner en kontinuerlig båndstruktur af energiniveauer . I ledere ( metaller ) er elektrongassen så degenereret , at den ikke engang kan bidrage meget til metallets varmekapacitet ved høje temperaturer. [13] :133–147 Mange mekaniske, elektriske, magnetiske, optiske og kemiske egenskaber ved faste stoffer er en direkte konsekvens af Paulis udelukkelse.

Stabilitet af stof

Stabiliteten af ​​hver elektronisk tilstand i et atom er beskrevet af atomets kvanteteori, som viser, at en elektrons tilgang til kernen nødvendigvis øger elektronens kinetiske energi i overensstemmelse med Heisenberg- usikkerhedsprincippet . [14] Imidlertid er stabiliteten af ​​store systemer med mange elektroner og mange nukleoner  en anden sag, der kræver anvendelse af Pauli-udelukkelsesprincippet.

Det har vist sig, at Pauli udelukkelsesprincippet også er ansvarlig for, at almindeligt stof er stabilt og fylder. Denne antagelse blev først fremsat i 1931 af Paul Ehrenfest , som påpegede, at elektronerne i et atom ikke alle kan falde ind i orbitalen med den laveste energi og skal optage skaller længere og længere væk fra kernen (orbitaler med store hovedkvantetal). Derfor optager atomerne et volumen og kan ikke komprimeres for meget under normale forhold. [femten]

Et mere stringent bevis blev leveret i 1967 af Freeman Dyson og Andrew Lenard ( de ), som betragtede balancen mellem attraktive (elektron-nukleare) og frastødende (elektron-elektron og nuklear-nukleare) kræfter og viste, at almindeligt stof ville kollapse og besætte et meget mindre volumen uden Pauli-princippet. [16] [17]

Det følger af Pauli-princippet, at elektroner med samme spin er rumligt adskilt af en frastødende udvekslingsinteraktion , som er en kortrækkende effekt, der virker i forbindelse med en langtrækkende elektrostatisk eller Coulomb-kraft . Denne effekt er delvist ansvarlig for hverdagsobservation i den makroskopiske verden, når to faste objekter ikke kan være på samme sted på samme tid.

Astrofysik

Dyson og Lenard overvejede ikke de ekstreme magnetiske eller gravitationskræfter, der forekommer i nogle astronomiske objekter. I 1995 viste Elliot Lieb og kolleger, at Pauli-princippet stadig fører til stabiliteten af ​​stoffet i intense magnetiske felter som neutronstjerner , omend med en meget højere tæthed end i almindeligt stof. [18] Det følger af den generelle relativitetsteori , at stof under tilstrækkeligt intense gravitationsfelter kollapser og danner et sort hul .

Astronomi giver imponerende eksempler på effekten af ​​Pauli-princippet på stof i form af hvide dværge og neutronstjerner . I begge legemer er atomstrukturen brudt af ekstremt tryk, men stjernerne holdes i hydrostatisk ligevægt af degenerationstryk , også kendt som Fermi-trykket. Denne eksotiske form for stof er kendt som degenereret stof . Den enorme tyngdekraft af en stjernes masse holdes normalt i balance af termisk tryk forårsaget af den varme, der frigives ved fusion i stjernens kerne. Hos hvide dværge, hvor kernefusionsreaktioner ikke forekommer, er den kraft, der modarbejder tyngdekraften, leveret af elektrondegenerationstrykket . I neutronstjerner , udsat for endnu stærkere gravitationskræfter, smeltede elektroner sammen med protoner og dannede neutroner. Neutroner er i stand til at producere et endnu højere degenerationstryk, neutrondegenerationstryk , omend i et snævrere område. Dette stabiliserer neutronstjerner fra yderligere kollaps, men med en mindre størrelse og højere tæthed end hos hvide dværge. Neutronstjerner er de "hårdeste" kendte objekter; deres Young's modul (mere præcist, bulk modulus ) er 20 størrelsesordener større end for diamant . Men selv denne enorme stivhed kan overvindes af gravitationsfeltet fra en neutronstjerne, hvis masse overstiger Tolman-Oppenheimer-Volkov-grænsen , hvilket resulterer i dannelsen af ​​et sort hul . [19] :286-287

Noter

  1. ↑ V. Pauli Forbudsprincippet, Lorentz-gruppen, afspejling af rum, tid og ladning // Niels Bohr og fysikkens udvikling. - M., IL, 1958. - s. 46-74
  2. ↑ Mikrokosmos fysik. - M., Soviet Encyclopedia, 1980. - s. 304
  3. ↑ Kenneth S. Krane. Indledende kernefysik. - Wiley, 5. november 1987. - ISBN 978-0-471-80553-3 .
  4. ↑ Linus Pauling og The Nature of the Chemical Bond: A Documentary History . Special Collections & Archives Research Center - Oregon State University. Hentet 19. marts 2021. Arkiveret fra originalen 3. november 2013.
  5. ↑ Langmuir, Irving (1919). "Arrangementet af elektroner i atomer og molekyler" (PDF) . Journal of the American Chemical Society . 41 (6): 868-934. DOI : 10.1021/ja02227a002 . Arkiveret fra originalen (PDF) 2012-03-30 . Hentet 2008-09-01 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
  6. ↑ Shaviv, Glora. The Life of Stars: The Controversial Inception and Emergence of theory of Stellar Structure. - Springer, 2010. - ISBN 978-3642020872 .
  7. ↑ Straumann, Norbert (2004). "Rollen af ​​udelukkelsesprincippet for atomer til stjerner: En historisk beretning." Inviteret foredrag på den 12. Workshop om Nuklear Astrofysik . arXiv : quant-ph/0403199 . Bibcode : 2004quant.ph..3199S . Ukendt parameter |ссылка=( hjælp )
  8. ↑ Pauli, W. (1925). "Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren". Zeitschrift fur Physik . 31 (1): 765-783. Bibcode : 1925ZPhy...31..765P . DOI : 10.1007/BF02980631 .
  9. ↑ A. G. Izergin (juli 1982). "Pauli-princippet for endimensionelle bosoner og den algebraiske bethe ansatz" (PDF) . Bogstaver i matematisk fysik . 6 (4): 283-288. Bibcode : 1982LMaPh...6..283I . DOI : 10.1007/BF00400323 . Arkiveret (PDF) fra originalen 2018-11-25 . Hentet 2021-03-19 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
  10. ↑ Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave) , Prentice Hall, ISBN 0-13-111892-7 
  11. ↑ Drake, GWF (1989). "Forudsagte energiskift for "paronisk" helium" . Phys. Rev. A. _ 39 (2): 897-899. Bibcode : 1989PhRvA..39..897D . DOI : 10.1103/PhysRevA.39.897 . PMID  9901315 . Arkiveret fra originalen 2021-03-03 . Hentet 2021-03-19 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
  12. ↑ Deilamian, K. (1995). "Søg efter små overtrædelser af symmetriseringspostulatet i en ophidset tilstand af helium". Phys. Rev. Lett . 74 (24): 4787-4790. Bibcode : 1995PhRvL..74.4787D . DOI : 10.1103/PhysRevLett.74.4787 . PMID  10058599 .
  13. ↑ Kittel, Charles (2005), Introduction to Solid State Physics (8. udgave), USA: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-41526-8 
  14. ↑ Lieb, Elliott H. (2002). "Materiens stabilitet og kvanteelektrodynamik". arXiv : math-ph/0209034 . Bibcode : 2002math.ph...9034L . Ukendt parameter |ссылка=( hjælp )
  15. ↑ Som beskrevet af F.J. Dyson (J.Math.Phys. 8 , 1538-1545 (1967)), fremsatte Ehrenfest dette forslag i sin tale i anledning af tildelingen af ​​Lorentz-medaljen til Pauli.
  16. ↑ FJ Dyson og A. Lenard: Stabilitet af materien , del I og II
  17. ↑ Dyson, Freeman (1967). "Grundtilstandsenergi af et endeligt system af ladede partikler" . J Math. Phys . 8 (8): 1538-1545. Bibcode : 1967JMP.....8.1538D . DOI : 10.1063/1.1705389 .
  18. ↑ Lieb, EH (1995). "Materiens stabilitet i magnetiske felter". Fysiske anmeldelsesbreve . 75 (6): 985-9. arXiv : cond-mat/9506047 . Bibcode : 1995PhRvL..75..985L . DOI : 10.1103/PhysRevLett.75.985 . PMID  10060179 .
  19. ↑ Martin Bojowald. Universet: Et blik fra klassisk og kvantetyngdekraft. - ISBN 978-3-527-66769-7 .

Litteratur