Feynman regerer

Feynmans regler i kvantefeltteori er reglerne for overensstemmelse mellem bidragene fra en bestemt rækkefølge af forstyrrelsesteori til matrixelementerne i spredningsmatrixen og Feynman-diagrammer. Den regelmæssige udledning af Feynmans regler er baseret på anvendelsen af Wicks sætning for kronologiske produkter til de kronologiske produkter fra feltoperatører, gennem hvis integraler bidragene til spredningsmatrixen udtrykkes. I Feynmans regler spiller kvantefelternes propagatorer en central rolle , svarende til deres kronologiske parringer, det vil sige vakuumforventninger fra parrede kronologiske produkter:

u_{a}(x)u_{b}(y)=\langle Tu_{a}(x)u_{b}(y)\rangle _{0}.

som også er lig med den kausale Greens funktioner af disse felter:

u_{a}(x)u_{b}(y)=i\delta _{a,b}\Delta _{a}^{c}(xy).

Sammen med propagatorerne , som i Feynman-diagrammer svarer til linjerne, der forbinder punkterne x og y, og som fuldstændigt karakteriserer de interagerende felter, omfatter Feynman-reglerne elementer, der beskriver interaktionsmekanismen og afspejler strukturen af interaktionen Lagrangian af kvantefeltet model under overvejelse. $i\Delta(xy)$

Der er to typer Feynman-regler

regler i koordinatrepræsentationen, på grundlag af hvilke man kan associere diagrammer med bidrag til S-matricen udtrykt i operatørfeltfunktioner
mere nyttige er Feynmans regler i momentumrepræsentationen, som tjener direkte til at konstruere matrixelementerne i overgange mellem fysiske. tilstande karakteriseret, sammen med andre kvantetal, ved værdierne af partiklernes 4-momenta.

I det følgende vil udtrykket "Feynmans regler" blive brugt til at henvise til Feynmans regler i momentumrepræsentationen.

I denne repræsentation bruges deres Fourier-billeder i stedet for ovenstående udtryk , som på Feynman-diagrammet svarer til indre linjer, langs hvilke partikler med momentum p synes at bevæge sig . De steder, hvor linjerne mødes - hjørnerne - beskriver partiklernes vekselvirkning. Derfor svarer hjørnerne ifølge Feynman-reglerne til faktorer i matrixelementerne, som formidler strukturen af interaktionen Lagrangians . Som en illustration viser tabellen korrespondancereglerne for kvanteelektrodynamik i den diagonale (ellers Feynman) måler af det elektromagnetiske felt. $\Delta _{a}(p)$

Feynmans regler for kvanteelektrodynamik

	Diagramelementer		Faktor i S-matrix element
	titel	billede	Faktor i S-matrix element
en	Vertex		$(2\pi )^{4}ie\gamma ^{\mu }\delta ^{(4)}(p+kp')$
2	Intern foton linje		${\frac {1}{(2\pi )^{4}i}}{\frac {\varepsilon _{\mu ,\nu }}{-k^{2}}}$
3	Intern elektron-positron linje		${\frac {1}{(2\pi )^{4}i}}{\frac {m+{\hat {p}}}{m^{2}-p^{2}}}{ \hat {p}}=\gamma ^{\mu }\rho _{\mu }$
fire	Ekstern fotonlinje		${\frac {(e^{\alpha }(k))_{\mu }}{(2\pi )^{3/2}{\sqrt {2k_{0}}}}}$
5	Ekstern udgående elektronisk linje		$(2\pi )^{-3/2}{\vec {v_{\sigma }}}(\rho )$
6	Ekstern udgående linje		$(2\pi )^{-3/2}{\vec {v_{\rho }}}(\rho )$
7	for at konstruere bidraget af den n'te orden i e til matrixelementet i en given proces, bør man tegne alle diagrammer, der indeholder nøjagtigt n toppunkter, der forbinder deres indre linjer og et givet sæt ydre linjer, bestemt i alt af start- og sluttilstanden af den undersøgte proces. I dette tilfælde skal det huskes, at retningerne angivet af pilene på de elektroniske linjer svarer til positronens bevægelse mod pilenes retning
otte	hver af disse diagrammer i henhold til reglerne for korrespondance fra tabel. ved at gange faktorerne fra højre kolonne, ordnet efter bevægelse langs elektronlinjerne, tildeles et udtryk, som så skal integreres over 4-momenta og summeres over alle indekser af alle interne. linjer;
9	hvis der er lukkede elektroniske sløjfer i diagrammet , så skal hele udtrykket ganges med (- 1) l $l$
ti	hvis diagrammet har en topologisk symmetri af k . orden, det vil sige, du kan omarrangere k toppunkter uden at ændre diagrammets topologi, så skal du tilføje faktoren (k!) −1
elleve	hvis der er identiske partikler i start- eller sluttilstand , skal der udføres en passende symmetri.

Udtrykket i den første linje i tabellen med korrespondanceregler svarer til strukturen af interaktionen Lagrangian , bortset fra faktoren , som tager højde for det faktum, at n . ordens bidrag til S-matricen indeholder faktoren : ${\mathcal {L}}(x)=e\psi (x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu}(x)$ $jeg$ ${\displaystyle i^{n))$

S_{n}\approx {\frac {i^{n}}{n!)}}\int {T\left({\mathcal {L}}(x_{1})...{\ matematisk {L}}(x_{n})\right)}dx_{1}...dx_{n}.

De næste to linjer indeholder feltpropagatorer , og så optræder fotonpolarisationsvektoren og ikke-kvantiserede Dirac-spinorer i korrespondancereglerne , som er løsninger af den frie Dirac-ligning og svarer til elektroner (og/eller positroner) i start- og sluttilstanden . $e^{\alpha }(k)$ ${\vec {v}}(\rho ),v(p)$

Applikationseksempel

Ved at bruge ovenstående Feynman-regler opnår vi matrixelementet af processen e − + e − → e − + e − (det vil sige Möller-spredning af elektroner) i den laveste, anden i e , rækkefølgen af forstyrrelsesteori. Det eneste diagram er det, der er vist i fig. 6. Ved at bruge momentumnotationen introduceret i denne figur, antager vi, at elektronernes momenta i starttilstanden er lig med p 1 og p 2 , og elektronerne i sluttilstanden har momenta - q 1 , q 2 (i dette tilfælde naturligvis q 10 < 0, q 2 0 < 0) . Ved at bruge reglerne (1), (2), (5), (6) og (8), finder vi:

M(p_{1},p_{2},-q_{1},-q_{2})={\frac {e^{2}}{i(2\pi )^{2}} }\delta (p_{1}+p_{2}+q_{1}+q_{2}){\frac {g_{\mu ,\nu }}{(p_{1}+q_{1})^ {2}}}{\vec {v_{\sigma }}}(-q_{1})\gamma ^{\mu }v_{\rho }(p_{1})

{\vec {v_{\kappa }}}(-q_{2})\gamma ^{\nu }v_{\lambda }(p_{2}).

Ifølge regel (11) skal dette udtryk også være antisymmetrisk med hensyn til elektronerne i start- og sluttilstanden.

Fra relativistisk kvantefeltteori overføres metoden med Feynman-diagrammer og Feynman-reglen direkte til kvantestatistik ved nul temperatur og kan let formuleres til forstyrrelsesteori ved en endelig temperatur.

Se også

Feynman diagrammer

Litteratur

Feynman RP Rum-tid tilgang til kvanteelektrodynamik // Fysisk. Rev., 1949, v. 76 , s. 769
Feynman R. Kvanteelektrodynamik / Pr. fra engelsk. - M., 1964 djvu-bog format
Bilenkiy S. M. Introduktion til Feynmans diagramteknik. - M., 1971
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Kvantefelter. - 2. udg. - M., 1993.