Homogent koordinatsystem

Homogene koordinater er et koordinatsystem, der bruges i projektiv geometri , svarende til hvordan kartesiske koordinater bruges i euklidisk geometri .

Homogene koordinater har den egenskab, at det objekt, de definerer, ikke ændres, når alle koordinater ganges med det samme ikke-nul tal. På grund af dette er antallet af nødvendige koordinater til at repræsentere punkter altid én mere end dimensionen af det rum , hvor disse koordinater bruges. For eksempel er 2 koordinater nødvendige for at repræsentere et punkt på en linje i 1D-rum, og 3 koordinater er nødvendige for at repræsentere et punkt på et plan i 2D-rum. I homogene koordinater er det muligt at repræsentere lige punkter, der er på uendelig.

Introduceret af Plücker som en analytisk tilgang til Gergonne-Poncelets dualitetsprincip .

Projektiv geometri

Det projektive plan er sædvanligvis defineret som et sæt af linjer gennem origo . Enhver sådan linje er entydigt bestemt af et punkt, der ikke falder sammen med oprindelsen . Lad denne rette linje passere gennem et punkt med koordinater , så er de homogene koordinater for det tilsvarende punkt på den projektive plan en tripel af tal , defineret op til proportionalitet og sådan at alle tre koordinater ikke kan være nul på samme tid [1] . For eksempel, $\mathbb R^3$ $0$ $(a,b,c)$ $(x_1:x_2:x_3)$ $(0:1:1)=(0:2:2).$

Fra homogene til affine koordinater kan du gå som følger: i tredimensionelt rum kan du tegne et plan , der ikke passerer gennem koordinaternes oprindelse ; så er linjen, der går gennem origo enten parallel med dette plan (i dette tilfælde kaldes punktet "uendeligt fjernt"), eller skærer det i et enkelt punkt, så kan det associeres med koordinaterne for dette punkt på planet . Lad os for eksempel tegne et plan i rummet med koordinater . Så svarer et punkt med homogene koordinater , hvis , til et punkt på planen med koordinater Omvendt vil et punkt med affine koordinater i homogene koordinater blive skrevet som $(x_1,x_2,x_3)$ $x_3=1$ $(a:b:c)$ $c\neq 0$ $(a/c, b/c).$ $(a,b)$ $(a:b:1).$

Linjer i det projektive plan er planer i tredimensionelt rum, der passerer gennem oprindelsen. Et sådant plan kan defineres af ligningen . Det er let at se, at når det ganges med det samme tal, ændres planen givet af ligningen ikke. Det betyder, at hvert plan svarer til homogene koordinater . Et punkt skrevet i homogene koordinater kan forbindes med en ret linje, som skrives på samme måde i homogene koordinater. Således danner linjerne på det projektive plan et "andet projektivt plan", dette er princippet om projektiv dualitet . $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ $a_{1},a_{2},a_{3}$ $(a_1:a_2:a_3)$

Beregningsgeometri

I beregningsgeometri bruges homogene koordinater til at beregne operationer på det euklidiske plan. Det euklidiske plan afsluttes midlertidigt til det projektive, den homogene koordinat 1 tilføjes til punkternes kartesiske koordinater, derefter udføres operationerne, så til allersidst udføres divisionen med den homogene koordinat for at opnå de kartesiske koordinater, og punkterne ved det uendelige behandles specielt. Denne tilgang gør det muligt hurtigt og præcist at indkode operationer med objekter på et fly. En linje, der går gennem to punkter, og et punkt i skæringspunktet mellem to linjer er begge kodet ved hjælp af krydsproduktet . Også udvidelsen af det euklidiske plan til det projektive plan gør det også muligt at undgå at overveje særlige tilfælde i mellemkonstruktioner, for eksempel krydsende eller parallelle linjer, og at udføre analysen først til allersidst.

Homogene heltalskoordinater generaliserer rationelle tal . Den tredje homogene koordinat fungerer som fællesnævner for de to første koordinater, så alle beregninger kan foretages uden fejl (i lang aritmetik ).

Eksempler

barycentriske koordinater .

Kilder

↑ Prasolov V.V., Tikhomirov V.N. Geometry Arkiveksemplar af 13. juli 2018 på Wayback Machine . — M .: MTSNMO , 2007. ISBN 978-5-94057-267-1