Torsion (algebra)

Generelt algebra refererer termen torsion til elementerne i en gruppe, der har en endelig rækkefølge, eller til elementerne i et modul udslettet af et regulært element i ringen.

Definition

Et element g i en gruppe G kaldes et torsionselement, hvis det har en endelig rækkefølge , det vil sige, at der eksisterer et naturligt tal n , således at g n = e , hvor e betegner det neutrale element i gruppen. En gruppe kaldes periodisk (eller torsionsgruppe ), hvis alle dens elementer er torsionselementer, og en torsionsfri gruppe, hvis det eneste torsionselement er neutralt. Det er kendt, at enhver abelsk gruppe er et modul over ringen af heltal ; især definitionen af et torsionselement for det kan omformuleres som følger: der er et heltal, der ikke er nul, således at multiplikation med dette tal tager dette element til nul. Dette motiverer følgende definition:

Et element m i et modul M over en ring R kaldes et torsionselement, hvis der eksisterer et regulært element r , der ikke er nul nul, i ringen R (det vil sige et element, der ikke er en venstre eller højre nuldeler ), der udsletter m , det vil sige sådan, at rm = 0. I tilfælde af, at der er tale om integral ring , kan antagelsen om regularitet droppes. Torsionsmodulet og det torsionsfrie modul er defineret på samme måde . I tilfælde af at ringen R er kommutativ , danner sættet af alle torsionselementer i modulet M et undermodul kaldet et torsionsundermodul (især for et modul over Z kaldes det en torsionsundergruppe ).

Mere generelt, lad M være et modul over R og S være et multiplikativt lukket system af ringen. Et element m i et modul M kaldes et S-torsionselement , hvis der findes et element i det multiplikative system, der tilintetgør m . Især er sættet af regulære elementer i en ring det største multiplikative system.

Eksempler

Lad M være et frit modul over en ring R , det følger umiddelbart af definitionen, at M er et torsionsfrit modul. Især vektorrum er torsionsfrie.
I en modulær gruppe har ethvert ikke-trivielt torsionselement enten orden 2 og er konjugeret til S eller har orden 3 og er konjugeret til ST . Torsionselementerne her danner ikke en undergruppe: for eksempel S · ST = T , og T har en uendelig orden.
Den abelske gruppe (som kan opfattes som gruppen af rotationer af en cirkel gennem en vinkel svarende til cirklens omkreds) er en torsionsgruppe. Dette eksempel kan generaliseres som følger: hvis R er en kommutativ ring, og Q er dens kvotientfelt , så er Q/R en torsionsgruppe. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
Lad et vektorrum V være givet over et felt F med en lineær operator . Hvis vi naturligvis betragter dette rum som et F(x) -modul, så er dette modul et torsionsmodul (ved Hamilton-Cayley-sætningen, eller simpelthen fordi rummet er endeligt-dimensionelt).

Tilfældet med domænet af principielle idealer

Lad R være et principielt ideelt domæne og M et endeligt genereret R - modul. Ifølge den tilsvarende struktursætning kan dette modul dekomponeres til en direkte sum

M\simeq F\oplus T(M),

hvor F er et frit R - modul og T ( M ) er et torsionsundermodul af M. For moduler, der ikke er endeligt genereret, eksisterer en sådan nedbrydning, generelt set, ikke: selv torsionsundergruppen i en Abelsk gruppe er ikke nødvendigvis en direkte summand.

Torsion og lokalisering

Lad R være et integritetsdomæne med et felt af fraktioner Q , og M et R - modul. Så kan vi betragte et Q -modul (det vil sige et vektorrum)

M_{Q}=M\otimes _{R}Q.

Der er en naturlig homomorfi fra en abelsk gruppe M til en abelsk gruppe M Q , og kernen i denne homomorfi er præcis torsionsundermodulet. Tilsvarende for lokaliseringen af ringen R med hensyn til det multiplikative system S $a\mapto\nogle gange 1$

M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},

kernen i den naturlige homomorfi er præcis elementerne i S - torsion. Således kan torsionsundermodulet forstås som sættet af de elementer, der identificeres under lokalisering.

Torsion i homologisk algebra

Begrebet torsion spiller en vigtig rolle i homologisk algebra . Hvis M og N er moduler over en kommutativ ring R , giver Tor-funktionen en familie af R - moduler Tori ( M , N ). Desuden er S -torsionsmodulet i modulet M naturligt isomorft med Tor 1 ( M , RS / R ) . Især følger det umiddelbart heraf, at flade moduler er vridningsfrie moduler. Navnet Tor er en forkortelse for det engelske torsion (torsion).

Litteratur

Ernst Kunz , Introduktion til kommutativ algebra og algebraisk geometri, Birkhauser 1985 - ISBN 0-8176-3065-1
Irving Kaplansky , Infinite abelian groups, University of Michigan, 1954.
Michiel Hazewinkel (2001), Torsion undermodul , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4