Stivhedsbro

Mostovs stivhed siger, at geometrien af ​​en hyperbolsk manifold med begrænset volumen i dimensioner startende fra tre er fuldstændig bestemt af dens grundlæggende gruppe .

Historie

For lukkede manifolder blev teoremet bevist af George Mostov i 1968. Generaliseret til manifolder af endelig dimension af Marden og Prasad .  Gromov gav et andet bevis baseret på det simple bind .

Forud for dette havde Weyl bevist nært beslægtede udsagn. Især det faktum, at kokompakte handlinger af diskrete isometrigrupper med et hyperbolsk rum med dimension på mindst 3 ikke tillader ikke-trivielle deformationer.

Formuleringer

Geometrisk formulering

Lad M og N være komplette hyperbolske n -dimensionelle manifolds med endeligt volumen med n ≥3. Så induceres enhver isomorfi f :  π 1 ( M ) → π 1 ( N ) af isometrien M → N .

Her betegner π 1 ( M ) den fundamentale gruppe af manifolden M .

Algebraisk formulering

Lad Γ og Δ være diskrete undergrupper af isometrigruppen G af et n - dimensionelt hyperbolsk rum H med n ≥ 3, hvis faktorrum H /Γ og H /Δ har endelige volumener. Så indebærer isomorfien af ​​Γ og Δ som diskrete grupper deres konjugation i G .

Ansøgninger

• Isometrigruppen af ​​endelige volumener af en hyperbolsk n - manifold M (for n ≥3) er endelig og isomorf for gruppen af ​​ydre automorfier π 1 ( M ).
• Cirkelpakningssætning

Links

• Gromov, Michael (1981), Hyperbolske manifolds (ifølge Thurston og Jørgensen) , Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80 , bind. 842, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 40–53, ISBN 978-3-540-10292-2 , doi : 10.1007/BFb0089927 
• Marden, Albert (1974), Geometrien af ​​endeligt genererede kleinian-grupper, Annals of Mathematics. Second Series Vol. 99: 383–462, ISSN 0003-486X 
• Mostow, GD (1968), Kvasi-konforme afbildninger i n - rum og stivheden af ​​de hyperbolske rumformer , Publ. Matematik. IHES bind 34: 53–104 , < http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__53_0 > 
• Mostow, GD (1973), Strong rigidity of locally symmetric spaces , vol. 78, Annals of mathematics studies, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6 , < https://books.google.com/books?id=xT0SFmrFrWoC > 
• Prasad, Gopal (1973), Strong rigidity of Q-rank 1 lattices , Inventiones Mathematicae T. 21: 255-286, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01418789 
• Spatzier, RJ (1995), Harmonic Analysis in Rigidity Theory, i Petersen, Karl E. & Salama, Ibrahim A., Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , Cambridge University Press, s. 153-205, ISBN 0-521-45999-0  . (Giver en oversigt over en lang række rigiditetsteoremer, herunder dem, der vedrører Lie-grupper, algebraiske grupper og flows dynamik. Indeholder 230 referencer.)
• Thurston, William (1978-1981), The geometry and topology of 3-manifolds , Princeton lecture notes , < http://www.msri.org/publications/books/gt3m/ >  . (Giver to beviser: et svarende til Mostows originale bevis, og et andet baseret på Gromov-normen )
• Weil, André (1960), Om diskrete undergrupper af Lie-grupper, Annals of Mathematics. Second Series bind 72: 369–384, ISSN 0003-486X 
• Weil, André (1962), Om diskrete undergrupper af Lie-grupper. II, Mathematiks annaler. Second Series bind 75: 578–602, ISSN 0003-486X