Burgers ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Burgers- ligningen kaldes en partiel differentialligning . Denne ligning er kendt inden for forskellige områder af anvendt matematik . Ligningen er opkaldt efter Johann Martinus Burgers (1895-1981). Det er et særligt tilfælde af Navier-Stokes-ligningerne i det endimensionelle tilfælde.

I hydrodynamik introduceres ligningen som følger: lad væskestrømningshastigheden u og dens kinematiske viskositet angives . Så, i generel form, er Burgers-ligningen skrevet som følger: $\nu$

{\frac {\partial u}{\partial t))+u{\frac {\partial u}{\partial x))=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\ delvis x^{2}}}

Hvis indflydelsen af viskositet kan negligeres, det vil sige , har ligningen formen: $\nu=0$

{\frac {\partial u}{\partial t))+u{\frac {\partial u}{\partial x))=0

I dette tilfælde får vi Hopf-ligningen - en kvasi-lineær transportligning - den enkleste ligning, der beskriver diskontinuerlige strømme eller strømme med stødbølger .

Hvis er reel og ikke lig med , reduceres ligningen til tilfældet : for du skal først foretage substitutionen , , og for ethvert tegn : , . $\nu$ $0$ $\nu=1$ $\nu <0$ $u\to -u$ $x\to -x$ $\nu$ $u\to {\sqrt {|\nu |}}\,u$ $x\to {\sqrt {|\nu |}}\,x$

Burgers-ligningen kan lineariseres ved Hopf- Cole -transformationen . For at gøre dette (for ), skal du lave en funktionssubstitution: $\nu=1$

u={\frac {\partial \ln w}{\partial x))=w_{x}/w

I dette tilfælde reduceres løsningerne af Burgers-ligningen til positive løsninger af den lineære varmeligning :

u(x,t)=2{\frac {\partial }{\partial x))\ln {\Bigl \{}(4\pi t)^{-1/2}\int _{- \infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(xx')^{2}}{4t}}-{\frac {1}{2}}\int _{0} ^{x'}u(x'',0)dx''{\Bigr ]}dx'{\Bigr \)).

Se også

Kuramoto-Sivashinsky ligning

Litteratur

J. Whitham Lineære og ikke-lineære bølger. M.: Mir, 1977. 624 s. [en]

Noter

↑ RNB-katalog . Hentet 28. september 2021. Arkiveret fra originalen 28. september 2021. (ubestemt)

Links

Burgers' Equation hos EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner