Tresekskantet mosaik

Tresekskantet mosaik
Type	semiregulær flisebelægning
Vertex konfiguration	(3.6) 2
Schläfli symbol	r{6,3} eller h 2 {6,3}
Wythoff symbol	2 | 6 3 3 3 | 3
Coxeter-Dynkin diagram	=
Symmetrier	p6m, [6,3], (*632)
Rotationssymmetrier	s6, [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333)
Bowers notation	At
Dobbelte honningkager	rombisk mosaik
Ejendomme	vertex-transitiv kant-transitiv

Trihexagonal flisebelægning er en af ​​11 ensartede fliser på det euklidiske plan fra regulære polygoner [1] . Mosaikken består af regulære trekanter og regulære sekskanter arrangeret således, at hver sekskant er omgivet af trekanter, og omvendt. Navnet på flisebelægningen kommer af, at den kombinerer en almindelig sekskantet flisebelægning og en almindelig trekantet flisebelægning . To sekskanter og to trekanter veksler rundt om hvert toppunkt, og kanterne danner en endeløs konfiguration af linjer . Den dobbelte flisebelægning er rombisk [2] .

Mosaik og dens plads i klassificeringen af ​​homogene mosaikker blev givet af Johannes Kepler allerede i 1619 i sin bog Harmonices Mundi [3] . Mønsteret har længe været brugt i japansk kurvefletning , hvor det blev kaldt kagome . Den japanske betegnelse for dette mønster blev lånt af fysikere, hvor det blev kaldt kagome-gitteret . Mønsteret findes i nogle mineralers krystalstrukturer. Conway brugte navnet hexadeltille (seks-delta-mosaik), der kombinerede dele af ordene hex-/delta/tille [4] .

Kagome

Kagome (籠目) er et traditionelt japansk bambusvævemønster . Navnet er en kombination af ordene kago (kurv) og mig (øje), sidstnævnte refererer til hullerne i bambuskurven.

Kagome er en sammenflettet konfiguration af stænger, der danner et tresekskantet mosaikmønster. Vævning giver kagome symmetrien af ​​en chiral tapetgruppe, grupper p6.

Gitter af kagome

Udtrykket kagome gitter blev introduceret af en japansk fysiker, et udenlandsk medlem af det russiske videnskabsakademi [5] Koji Fushimi. Udtrykket dukkede første gang op i en artikel fra 1951 skrevet af Ishirō Shoji under ledelse af Fushimi [6] . Kagome-gitteret består i denne forstand af hjørnerne og kanterne af en tresekskantet flisebelægning. I modsætning til navnet danner disse skæringspunkter ikke et matematisk gitter .

Forbundet 3D-struktur dannet af hjørnerne og kanterne af en kvart terning-bikage, at fylde rummet med regulære tetraedre og trunkerede tetraedre , kaldes kagome hypergitteret [7] . Det er repræsenteret af hjørnerne og kanterne af kvartkubiske honningkager, der fylder rummet med tetraedre og afkortede tetraedre . Strukturen indeholder fire sæt parallelle planer, og hvert plan er et todimensionelt kagomegitter. En anden repræsentation i tredimensionelt rum har parallelle niveauer af todimensionelle gitter og kaldes det ortorhombiske kagomegitter [7] . Trihexagonale prismatiske honningkager repræsenterer kanterne og spidserne af dette gitter.

Nogle mineraler , nemlig jarosit og herbertsmithite , indeholder to-dimensionelle gitter eller tredimensionelle kagome-gitre dannet af atomer i en krystalstruktur . Disse mineraler viser fysiske egenskaber forbundet med geometriske frustrationsmagneter . For eksempel er fordelingen af ​​spins af magnetiske ioner i Co 3 V 2 O 8 arrangeret i form af et kagome-gitter og viser en fantastisk magnetisk adfærd ved lave temperaturer [8] . Udtrykket er nu meget brugt i den videnskabelige litteratur, især i den teoretiske undersøgelse af de magnetiske egenskaber af det teoretiske kagome gitter.

Symmetri

Den tresekskantede flisebelægning har Schläfli-symbolet r{6,3} og Coxeter-Dynkin-diagrammet , der symboliserer det faktum, at flisebelægningen er en fuldt afkortet sekskantet flisebelægning , {6,3}. Dens symmetrier kan beskrives af tapetgruppen p6mm, (*632) [9] . Flisebelægningen kan opnås ved Wythoffs konstruktion fra de fundamentale reflektionsområder i denne gruppe . En trihexagonal flisebelægning er en kvasiregulær flisebelægning, der veksler mellem to typer polygoner og har vertexkonfigurationen (3.6) 2 . Flisebelægningen er også en ensartet flisebelægning , en af ​​otte afledt af en almindelig sekskantet flisebelægning.

Ensartede farvelægninger

Der er to forskellige ensartede farver af den trihexagonale flisebelægning. Disse to farvninger, hvis du angiver farveindekser for 4 flader omkring et toppunkt (3.6.3.6), har indekssæt 1212 og 1232 [10] . Den anden farve kaldes en affaset sekskantet flisebelægning , h 2 {6,3}, med to trekantfarver fra symmetrien (*333) i p3m1 tapetgruppen .

Symmetri	p6m, (*632)	p3m, (*333)
Farvelægning
grundlæggende område
Wythoff symbol	2 | 6 3	3 3 | 3
Coxeter -Dynkin diagram		=
Schläfli symbol	r{6,3}	r{3 [3] } = h 2 {6,3}

Topologisk ækvivalente flisebelægninger

En trihexagonal flisebelægning kan være geometrisk buet til topologisk ækvivalente fliser med en lavere grad af symmetri [10] . I disse varianter af mosaikken er kanterne ikke nødvendigvis segmenter (de kan være buede).

Relaterede quasi-regulære fliser

Den trihexagonale flisebelægning er til stede i en sekvens af symmetrier af kvasi-regulære flisebelægninger med vertexkonfigurationer (3. n ) 2 , der starter med fliser på en kugle, går til det euklidiske plan og går over i det hyperbolske plan. Med orbifold notation* n 32 symmetri, alle disse flisebelægninger er skabt af Wythoff-konstruktionen med et fundamentalt symmetriområde og et generatorpunkt i områdets toppunkt med en ret vinkel [11] [12] .

Beslægtede regulære komplekse uendeligheder

Der er 2 regulære komplekse uendeligheder , der har de samme hjørner som den trihexagonale flisebelægning. Regulære komplekse uendeligheder har spidser og kanter, mens kanter kan have 2 eller flere spidser. Regulære uendeligheder (apeirogoner) p { q } r har den begrænsende lighed: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Kanterne har p toppunkter arrangeret som en regulær polygon , og toppunktsfigurerne er r -gonale [13 ] .

Den første uendelighed består af trekantede kanter, to trekanter rundt om hvert toppunkt, den anden har sekskantede kanter, to sekskanter rundt om hvert toppunkt.

3{12}2 eller	6{6}2 eller

Se også

• perkolationstærskel
• Davidsstjerne
• Trihexagonale prismatiske honningkager

Noter

1. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 . Se især Sætning 2.1.3 på side 59 (klassificering af homogene fliser), Figur 2.1.5 på side 63 (illustration af denne flisebelægning), Sætning 2.9.1 på side 103 (klassificering af farvede fliser), Figur 2.9. 2 på side 105 (illustration af farvede flisebelægninger), Figur 2.5.3(d) på side 83 (topologisk ækvivalente stjernefliser) og øvelse 4.1.3 på side 171 (topologisk ækvivalens af trihexagonale og bitriangulære fliser).
2. ↑ Williams, 1979 , s. 38.
3. ↑ Kepler, 1997 , s. 104-105.
4. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , s. 288.
5. ↑ Fushimi Koji. | ER ARAN . Hentet 4. september 2021. Arkiveret fra originalen 4. juni 2021. (ubestemt)
6. ↑ Mekata, 2003 , s. 12-13.
7. ↑ 1 2 Lawler, Kee, Kim, Vishwanath, 2008 .
8. ↑ Yen, Chaudhury, Galstyan et al., 2008 , s. 1487-1489
9. ↑ Steurer, Deloudi, 2009 , s. tyve.
10. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1987 .
11. ↑ Coxeter, 1973 .
12. ↑ Todimensionelle symmetrimutationer af Daniel Huson
13. ↑ Coxeter, 1991 , s. 111-112, 136.

Litteratur

• Robert Williams. Det geometriske grundlag for naturlig struktur: En kildebog til design . - New York: Dover Publications , 1979. - s  . 32 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , Shephard GC Flisebelægning og mønstre. - New York: W.H. Freeman, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Johannes Kepler. The Harmony of the World af Johannes Kepler / Aiton EJ, Duncan AM, Field JV. - American Philosophical Society, 1997. - T. 209. - S. 104-105. — (Memoirs of the American Philosophical Society). — ISBN 9780871692092 .
• Coxeter HSMD Regular Complex Polytopes . — 2. - New York, Port Chester, Melburne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - S.  111-112 , 136. - ISBN 0-521-39490-2 .
• Coxeter HSMD Kapitel V: Kalejdoskopet, afsnit: 5.7 Wythoffs konstruktion // Regular Polytopes . — Tredje Udgave. - Dover udgave, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Kapitel 21: Navngivning af arkimedeiske og catalanske polyedre og flisebelægninger; Euklidiske plantesselationer // Tingenes symmetrier. - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - S. 288. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Mamoru Mekata. Kagome: Historien om basketweave-gitteret // Physics Today. - AIP Publishing, 2003. - Februar ( vol. 56 , udgave 2 ). — S. 12–13 . - doi : 10.1063/1.1564329 . — .
• Michael J. Lawler, Hae-Young Kee, Yong Baek Kim, Ashvin Vishwanath. Topologisk spin væske på hyperkagome gitter af Na 4 Ir 3 O 8  // Physical Review Letters. - 2008. - Juni ( bind 100 , hæfte 22 ). - doi : 10.1103/physrevlett.100.227201 . - . - arXiv : 0705.0990 .
• Yen F., Chaudhury RP, Galstyan E., Lorenz B., Wang YQ, Sun YY, Chu CW Magnetiske fasediagrammer af Kagome-trappeforbindelsen Co 3 V 2 O 8  // Physica B: Condensed Matter. - 2008. - T. 403 . - S. 1487-1489 . - doi : 10.1016/j.physb.2007.10.334 . - . - arXiv : 0710.1009 .
• Dale Seymour, Jill Britton. Introduktion til Tessellations . - 1989. - S.  50-56 . — ISBN 978-0866514613 .
• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Krystallografi af kvasikrystaller: begreber, metoder og strukturer . - Springer, 2009. - T. 126. - S. 20. - (Springer Series in Materials Science). — ISBN 9783642018992 .