Fourier-transformation på grupper

Fourier-transformationen på grupper er en generalisering af den diskrete Fourier-transformation fra cykliske til lokalt kompakte Abelia - grupper eller vilkårlige kompakte grupper.

Hjælpebegreber

En endelig-dimensionel repræsentation af en gruppe er en afbildning fra til en gruppe af reversible lineære transformationer af et vektorrum, således at for evt. $G$ $\pi :G\mapsto GL(V)$ $G$ $V$ $g_{1},g_{2}\in G$

\pi (g_{1})\pi (g_{2})=\pi (g_{1}g_{2}).

Med andre ord, er en homomorfi af grupperne og .

\pi

G

GL(V)

Repræsentationen kaldes unitær hvis , hvor er gruppen af enhedstransformationer af rummet . $\pi (G)\subset U(V)$ $U(V)$ $V$
Repræsentationer og kaldes ækvivalente , hvis overgangen fra den ene til den anden kan gennemføres ved en ensartet ændring af grundlag , det vil sige, hvis der sker en transformation således, at der for evt. $\pi :G\mapsto GL(V)$ $\rho :G\mapsto GL(V)$ $T\in GL(V)$ $g\in G$ $T\pi (g)T^{-1}=\rho (g)$

En visning kaldes en undervisning af en visning, hvis er et underrum af og for enhver og $\rho :G\mapsto GL(W)$ $\pi$ $W$ $V$ $g\in G$ $w\in W$

\rho (g)w=\pi (g)w.

Med andre ord, er et invariant underrum og er begrænsningen til .

W

\pi (g)

\rho (g)

\pi (g)

W

En repræsentation siges at være irreducerbar , hvis den ikke har andre underrepræsentationer end sig selv og en underrepræsentation, der afbildes til et nuldimensionelt underrum .

Det dobbelte sæt er det komplette sæt af ikke-ækvivalente irreducerbare enhedsrepræsentationer. ${\hat {G}}$ $G$

Definition

Fourier-transformationen af en funktion er defineret som en matrixfunktion sådan $f\in L^{2}(G)$ ${\hat {f}}\in L^{2}({\hat {G)))$

{\hat {f}}(\pi )=\sum \limits _{g\in G}f(g)\pi (g^{-1}).

I en sådan notation skrives den omvendte transformation som

{\textstyle f(g)={\frac {1}{|G|}}\sum \limits _{\pi \in {\hat {G}}}d_{\pi }{\text{tr}} [\pi (g){\hat {f}}(\pi )],}

hvor er dimensionen af det lineære rum, hvis transformationer er specificeret af .

{\displaystyle d_{\pi ))

\pi (g)

Motivation

I det kontinuerlige tilfælde svarer Fourier-transformationen af en kvadrat -integrerbar funktion til en ortonormal basisudvidelse af Hilbert Lebesgue-rummet ${\hat {f))$ $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ $f(x)$ ${\displaystyle \{e^{2\pi iyx}|y\in \mathbb {R} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} )$

{\textstyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(y)e^{2\pi iyx}dy.}

Fourier-transformationen af en periodisk funktion svarer til dens ekspansion i en ortonormal rumbasis $f\in L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \{e^{2\pi kx}|k\in \mathbb {Z} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(k)e^{2\pi ikx}.}

Funktionens diskrete Fourier-transformation svarer til udvidelsen i den ortonormale rumbasis $f\in L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ ${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {n}}}e^{\frac {2\pi ikj}{n}}{\bigg |}k=0,1,\dots, n-1\right\}}$ $L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(j)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\hat {f}}(k)e^ {\frac {2\pi ikj}{n))}

Generelt svarer Fourier-transformationen på grupper til udvidelsen af en funktion på en ortonormal basis . $f\in L^{2}(G)$ $L^{2}(G)$

Litteratur

Terras A. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications (engelsk) - Cambridge University Press , 1999. - 456 s. - ISBN 978-0-511-62626-5 - doi:10.1017/CBO9780511626265
Mensah Y. Fourier Transform on Groups and Applications (engelsk) // Data-Driven Modeling for Sustainable Engineering - 2019. - S. 21-28. doi:10.1007/ 978-3-030-13697-0_2

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation