Ikosaedrisk symmetri

Punktgruppe i 3D-rum

Polytopgrupper , [n,3], (*n32)
Involutionssymmetri C s , (*) [ ] =	Cyklisk symmetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral symmetri D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedrisk symmetri T d , (*332) [3,3] =	Oktaedrisk symmetri O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisk symmetri I h , (*532) [5,3] =

Et regulært icosahedron har 60 rotationssymmetrier (eller orienteringsbevarende) symmetrier og har en symmetrirækkefølge 120, inklusive transformationer, der kombinerer refleksion og rotation. Det almindelige dodecahedron har det samme sæt af symmetrier, som det er dobbelt til icosahedron.

Sættet af orienteringsbevarende symmetrier danner en gruppe, som er betegnet med A5 ( en vekslende gruppe på 5 bogstaver), og den fulde symmetrigruppe (inklusive refleksioner) er produktet af A5Z2 . Den sidste gruppe er også kendt som Coxeter-gruppen H 3 og er repræsenteret i Coxeter-notationen som [5,3] og har et Coxeter-Dynkin-diagram $\ gange$ .

Som en punktgruppe

Bortset fra de to uendelige familier af prismatiske og antiprismatiske symmetrier, er roterende icosahedral symmetri eller chiral icosahedral symmetri af chirale objekter og fuld icosahedral symmetri eller achiral icosahedral symmetri de diskrete punktsymmetrier (eller tilsvarende symmetrier ) med den største symmetri på den største sfære .

Icosahedral symmetri er ikke kompatibel med translationel symmetri , så der er ingen tilknyttede krystallografiske punktgrupper eller krystallografiske grupper .

Skonfluer	Coxeter		Orbifold	abstrakt struktur	Bestil
jeg	[5,3] +		532	A5 _	60
jeg h	[5,3]		*532	$A_{5}\times 2$	120

Gruppeopgaver svarende til de ovenfor beskrevne:

I:\langle s,t\midt s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \

I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\

Dette svarer til de icosaedriske grupper (rotation og total), som er (2,3,5) trekantgrupperne .

Den første opgave for gruppen blev givet af Hamilton i 1856 i hans papir om Icosians [1] .

Bemærk, at andre opgaver er mulige, såsom en vekslende gruppe (for I ).

Visualisering

Skoenfluer ( Orbifold )	Coxeter notation	Elementer	Spejldiagrammer
Skoenfluer ( Orbifold )	Coxeter notation	Elementer	ortogonale	Stereografisk projektion
I h (*532)	[5,3]	Spejllinjer : 15
I (532)	[5,3] +	Rotationspunkter : 12 5 20 3 30 2

Gruppestruktur


Kanterne af den sfæriske forbindelse af fem oktaedre repræsenterer 15 fly af spejlreflektion i form af store farvede cirkler. Hvert oktaeder kan repræsentere 3 ortogonale spejlreflektionsplaner langs dets kanter.

Pyritohedral symmetri er en undergruppe med indeks 5 af icosahedral symmetri, med 3 ortogonale grønne reflektionslinjer og 8 røde orden 3 rotationspunkter. Da undergruppen har indeks 5, er der 5 andre pyrit-hedriske symmetri-orienteringer.

Rotationsgruppen af icosahedron I har orden 60. Gruppen I er isomorf til gruppen A 5 , en alternerende lige permutationsgruppe på fem objekter. Denne isomorfi kan realiseres ved at virke på forskellige forbindelser af I , især forbindelsen af fem terninger (som er indskrevet i et dodekaeder ), forbindelsen af fem oktaedre eller en af de to forbindelser af fem tetraedre (som er enantiomorf og indskrevet i et dodekaeder).

Gruppen indeholder 5 T h - versioner med 20 D 3 -versioner (10 aksler, 2 pr. aksel) og 6 D 5 -versioner .

Den fulde icosaedriske gruppe I h har orden 120. I er en normal undergruppe af gruppen I h af indeks 2. Gruppen I h er isomorf til , eller , med central symmetri svarende til (1,-1), hvor Z 2 er skrevet multiplikativt. ${\displaystyle I\ gange Z_{2))$ $A_{5}\ gange Z_{2}$

I h virker på forbindelsen af fem terninger og forbindelsen af fem oktaedre , men −1 fungerer som det identiske element (da terninger og oktaedre er centralt symmetriske). Gruppen virker på forbindelsen af ti tetraedre - I virker på de to chirale halvdele ( forbindelser af fem tetraedre ), og −1 bytter de to halvdele. Især virker det ikke som S 5 , og disse grupper er ikke isomorfe, se nedenfor.

Gruppen indeholder 10 versioner af D 3d og 6 versioner af D 5d (symmetrier svarende til antirpisims).

I er også isomorf for PSL 2 (5), men Ih er ikke isomorf for SL 2 (5).

Grupper, der ofte forveksles med symmetrigruppen i icosahedron

Følgende grupper har orden 120, men er ikke isomorfe i forhold til hinanden:

S 5 , symmetrisk gruppe af 5 elementer
I h , fuld icosahedral gruppe (emne for denne artikel, også kendt som H 3 )
2 I , binær gruppe af icosahedron

De svarer til følgende korte nøjagtige sekvenser (hvoraf den sidste ikke deler sig) og produktet

1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1

{\displaystyle I_{h}=A_{5}\ gange Z_{2))

1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1

Med andre ord,

$A_{5}$ er en normal undergruppe af gruppen $S_5$
$A_{5}$ er faktorgruppen i gruppen , der er det direkte produkt $I_{h}$
$A_{5}$ er en faktorgruppe i gruppen $2I$

Bemærk, at den har en exceptionel irreducerbar 3-dimensionel repræsentation (som en icosahedrisk rotationsgruppe), men ikke har en irreducerbar 3-dimensionel repræsentation svarende til en fuld icosahedral gruppe, der ikke er en symmetrisk gruppe. $A_{5}$ $S_5$

De kan relateres til lineære grupper over et begrænset felt med fem elementer, som er undergrupper af direkte dækkende grupper. Ingen af disse er komplette icosaedriske grupper:

$A_{5}\cong \operatørnavn {PSL} (2,5),$ projektiv speciel lineær gruppe ;
$S_{5}\cong \operatørnavn {PGL} (2,5),$ projektiv fuld lineær gruppe ;
$2I\cong \operatørnavn {SL} (2,5),$ speciel lineær gruppe .

Konjugationsklasser

Konjugation klasser

jeg	jeg h
Identitet $12\ gange$ 72° rotation, rækkefølge 5 $12\ gange$ 144° rotation, rækkefølge 5 $20\ gange$ 120° rotation, ordre 3 $15\ gange$ 180° rotation, ordre 2	Afspejling $12\ gange$ spejlbillede med 108° rotation, ordre 10 $12\ gange$ spejlbillede med 36° rotation, ordre 10 $20\ gange$ r spejlvendt 60°, rækkefølge 6 $15\ gange$ spejlbillede, rækkefølge 2

Eksplicit repræsentation ved rotationsmatricer

I forbindelse med databehandling kan gruppen af icosaedriske rotationer beskrevet ovenfor repræsenteres af følgende 60 rotationsmatricer . Rotationsakserne svarer til alle cykliske permutationer , hvor er det gyldne snit . Refleksion over et hvilket som helst plan gennem oprindelsen giver den fulde icosaedriske gruppe . Alle disse matricer kan opnås ved at starte med identitetsmatrixen, successivt multiplicere hver matrix i sættet med en hvilken som helst af to vilkårlige ikke-singulære matricer, såsom og , indtil størrelsen af sættet holder op med at vokse. $jeg$ $(\pm 1,0,\pm \phi )$ $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $I_{h}$ ${\displaystyle R_{6))$ $R_{58}$

R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2))&-{\frac {1}{2\phi ))&-{\frac {1}{2 ))\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1} {2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{ 2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2} }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2} }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{ 2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2 ))\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2 }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}} &{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{ 2\phi ))&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{ 2\phi ))&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2 \phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2 \phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{ 2\phi ))&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi } }&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2 ))\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi } {2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2 }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi } {2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2 ))&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{ 2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2} }&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi } {2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\ \-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2} }&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2} }&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\ \{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}} &{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{ 2\phi ))&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\ \-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi } }&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\ phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\ \{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\ phi ))&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2} }&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{ 2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2 }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\ \-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}} &-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\ \{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2}} &{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2} }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}& -{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

Undergrupper med fuld icosahedral symmetri

Skonfluer	Coxeter	Orbifold	G-M	Struktur	Bestille	Indeks
jeg h	[5,3]	*532	53 2/m	A5 _ $\times Z_{2}$	120	en
D2h _	[2,2]	*222	hmmm	Dih 2 ${\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3))$	otte	femten
C5v _	[5]	*55	5m	Dih 5	ti	12
C 3v	[3]	*33	3m	Dih 3 = S 3	6	tyve
C 2v	[2]	*22	2 mm	Dih 2 = Dih 1 2	fire	tredive
Cs _	[ ]	*	2 eller m	Dih 1	2	60
T h	[3 + ,4]	3*2	m 3	${\displaystyle A_{4}\ gange Z_{2))$	24	5
D5d _	[2 + ,10]	2*5	10 m2	$\mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}$	tyve	6
D3d _	[2 + ,6]	2*3	3 m	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3))$	12	ti
$D_{1d}=C_{2t}$	[2 + ,2]	2*	2/m	Dih 2 = Z 2 $\times \mathrm {Dih} _{1}$	fire	tredive
S 10	[2 + ,10 + ]	$5\ gange$	5	${\displaystyle Z_{10}=Z_{2}\ gange Z_{5))$	ti	12
S6 _	[2 + ,6 + ]	$3\ gange$	3	${\displaystyle Z_{6}=Z_{2}\ gange Z_{3))$	6	tyve
S2 _	[2 + ,2 + ]	$\ gange$	en	$Z_{2}$	2	60
jeg	[5,3] +	532	532	A5 _	60	2
T	[3,3] +	332	332	A4 _	12	ti
D5 _	[2,5] +	522	522	Dih 5	ti	12
D3 _	[2,3] +	322	322	Dih 3 = S 3	6	tyve
D2 _	[2,2] +	222	222	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2))$	fire	tredive
C5 _	[5] +	55	5	$Z_{5}$	5	24
C3 _	[3] +	33	3	$Z_{3}=A_{3}$	3	40
C2 _	[2] +	22	2	$Z_{2}$	2	60
C1 _	[ ] +	elleve	en	$Z_{1}$	en	120

Alle disse undergruppeklasser er konjugerede (det vil sige, at alle vertexstabilisatorer er konjugerede) og kan fortolkes geometrisk.

Bemærk, at stabilisatoren af en top/kant/flade/polyhedron og dens modsætning er lige store.

Vertex stabilisatorer

Stabilisatorerne af modsatte par af hjørner kan tolkes som stabilisatorerne af de akser, de danner.

vertex stabilisatorer i I giver cykliske grupper C 3
vertex stabilisatorer i I h giver dihedrale grupper D 3
stabilisatorer af modsatte par af hjørner i I giver dihedrale grupper D 3
stabilisatorer af modsatte par af hjørner i I h giver $D_{3}\ gange \pm 1$

Rib stabilisatorer

Stabilisatorerne af modsatte par af kanter kan fortolkes som stabilisatorerne af det rektangel, de danner.

Kantstabilisatorer i I giver cykliske grupper Z 2
Kantstabilisatorer i I h giver fire Klein-grupper $Z_{2}\ gange Z_{2}$
kant-par stabilisatorer i Jeg giver Klein firdobbelte grupper . Der er 5 af dem defineret ved 180° rotation i 3 vinkelrette akser. $Z_{2}\ gange Z_{2}$
kantparstabilisatorer i I h give . Der er 5 af dem, og de er givet ved refleksioner omkring 3 vinkelrette akser. ${\displaystyle Z_{2}\time Z_{2}\time Z_{2))$

Kantstabilisatorer

Stabilisatorerne af modsatte par af ansigter kan fortolkes som stabilisatorerne af den antiprisme , de genererer.

ansigtsstabilisatorer i I giver cykliske grupper C 5
ansigtsstabilisatorer i I h giver dihedrale grupper D 5
stabilisatorer af modsatte par af ansigter i I giver dihedrale grupper D 5
stabilisatorer af modsatte par ansigter i I h give $D_{5}\ gange \pm 1$

Stabilisatorer af polyedre

For hver af dem er der 5 konjugerede kopier, og konjugationsoperationen danner en kortlægning, faktisk en isomorfi . $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$

stabilisatorerne af det indskrevne tetraeder i I er en kopi af T
stabilisatorerne af det indskrevne tetraeder i I h er en kopi af T
stabilisatorerne af de indskrevne terninger (eller modsatte par af tetraedre eller oktaedre) i I er kopier af T
stabilisatorerne af de indskrevne terninger (eller modsatte par af tetraedre eller oktaedre) i I h er kopier af T h

Grundlæggende område

De grundlæggende regioner for den icosaedriske rotationsgruppe og den fulde icosahedriske gruppe er givet af:

icosahedral rotationsgruppe I	Komplet icosahedral gruppe I h	Ansigterne af hexakisicosahedron er de grundlæggende regioner

I hexakisicosahedron er det ene hele ansigt den grundlæggende region. Andre kroppe med den samme symmetri kan opnås ved at justere orienteringen af ansigterne, såsom at fladdre en valgt delmængde af ansigter og derefter flette hver delmængde ind i en flade, eller ved at erstatte hver flade med flere flader, eller ved at skabe en ikke-planar overflade.

Polyeder med icosahedral symmetri

Chirale polyedre

klasse	Symboler	Billede
Archimedovs	sr{5,3}
Catalanovs	V3.3.3.3.5

Fuld icosahedral symmetri

regulær polyeder	Kepler-Poinsot faste stoffer		Arkimediske faste stoffer
{5,3}	{5/2.5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
regulær polyeder	Kepler-Poinsot faste stoffer		catalanske kroppe
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Andre objekter med icosahedral symmetri

Barth
Strukturen af virussen og kapsiden
I kemi er dodecaboration -ionen ([B 12 H 12 ] 2− ) og dodecahedran - molekylet (C 20 H 20 )

Flydende krystaller med icosahedral symmetri

For den mellemliggende tilstand af et stof kaldet flydende krystaller , blev eksistensen af icosahedral symmetri foreslået af H. Kleinert og K. Maki [2] og analyserede for første gang i detaljer strukturen af disse krystaller. Se artiklens anmeldelse her . I aluminium blev den icosaedriske struktur opdaget tre år senere af Dan Shechtman , hvilket gav ham Nobelprisen i 2011.

Relaterede geometrier

Symmetrigruppen af icosahedron svarer til den projektive specielle lineære gruppe PSL(2,5) og er symmetrigruppen for den modulære kurve X(5). Derudover er gruppen PSL(2, p ) symmetrigruppen for den modulære kurve X( p ). Den modulære kurve X(5) er geometrisk et dodekaeder med en spids i midten af hver flade og har en tilsvarende symmetrigruppe.

Denne geometri og tilhørende symmetrigruppe blev undersøgt af Felix Klein som monodromigrupperne på Belyi-overfladen - Riemann-overflader med en holomorf afbildning ind i Riemann-sfæren, forgrenet ved 0, 1 og uendelig - spidserne er punkter ved uendelig, mens toppunkter og midten af hver kant ligger ved 0 og 1. Dækningsgraden (antal ark) er 5.

Dette udspringer af hans forsøg på at give en geometrisk begrundelse for, hvorfor icosahedral symmetri optræder i løsningen af femtegradsligningen i teorien fra Kleins berømte artikel [3] . En moderne beskrivelse er givet i Thoths artikel [4] .

Kleins forskning fortsatte med hans opdagelse af orden 7 og 11 symmetrier i 1878-1879 papirerne [5] [6] (og tilhørende omslag af grad 7 og 11) og dessins d'enfants (de såkaldte "børnetegninger" "), hvilket gav de første optrædener af Klein quartics , hvis tilhørende geometri har en flisebelægning på 24 syvkanter (med en spids i midten af hver syvkant).

Lignende geometrier forekommer for PSL(2, n ) grupper og mere generelle grupper for andre modulære kurver.

En mere eksotisk manifestation er, at der er et særligt forhold mellem grupperne PSL(2,5) (rækkefølge 60), PSL(2,7) (rækkefølge 168) og PSL(2,11) (rækkefølge 660), som også tillader geometriske fortolkninger - PSL( 2,5) er symmetrierne af icosahedron (slægt 0), PSL(2,7) er Klein quartic (slægt 3), og PSL(2,11) er overfladen af fulleron (slægt 70). Disse grupper danner en " treenighed " i V. I. Arnolds terminologi , som danner grundlag for forskellige forbindelser. Se artiklen " Trinity " for flere detaljer .

Også symmetrigruppen i icosahedron er tæt beslægtet med de andre symmetrigrupper i regulære polyedre .

Se også

Noter

↑ Hamilton, 1856 , s. 446.
↑ Kleinert, Maki, 1981 , s. 219-259.
↑ Klein, 1888 .
↑ Toth, 2002 , s. 66; Afsnit 1.6, Yderligere emne: Kleins teori om Icosahedron .
↑ Klein, 1878 .
↑ Klein, 1879 .

Litteratur

Memorandum om respekt for et nyt system af enhedsrødder // Philosophical Magazine . - 1856. - T. 12 . - S. 446 .
Kleinert H. , Maki K. Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals // Fortschritte der Physik. - 1981. - T. 29 , no. 5 . — S. 219–259 . - doi : 10.1002/prop.19810290503 .
Felix Klein . Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. - 1878. - T. 14 , Nr. 3 . — S. 428–471 . - doi : 10.1007/BF01677143 . engelsk oversættelse
- Om orden-syv-transformationen af elliptiske funktioner // The Eightfold Way / Silvio Levy. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 978-0-521-66066-2 .
Felix Klein . Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (Om ellevte ordens transformation af elliptiske funktioner) // Mathematische Annalen. - 1879. - T. 15 , Nr. 3-4 . — S. 533–555 . - doi : 10.1007/BF02086276 . Oeuvres, bind 3, s. 140-165
Felix Klein . Forelæsninger om Icosahedron og løsningen af ligninger af den femte grad. - Trübner & Co., 1888. - ISBN 0-486-49528-0 .
Gabor Toth. Finite Möbius-grupper, minimale nedsænkninger af sfærer og moduler. - New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95323-X .
Peter R. Cromwell. Polyeder . - Cambridge university press, 1997. - S. 296 . — ISBN 9-521-55432-2 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Tingenes symmetrier. - CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Kaleidoscopes: Selected Writings of Coxeter HSM / redigeret af F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
Johnson NW Kapitel 11: Finite symmetrigrupper , 11.5 Sfæriske Coxeter-grupper // Geometrier og transformationer. - 2018. - ISBN 978-1-107-10340-5 .