ADE klassifikation

$ADE$ -klassificering - en komplet liste over enkelttrådede Dynkin-diagrammer - diagrammer, hvor der ikke er flere kanter , hvilket svarer til simple rødder i rodsystemet, der danner vinkler (ingen kant mellem hjørner) eller (enkeltkant mellem hjørner). Listen består af: $\pi/2$ $2\pi /3$

{\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8))

Listen indeholder to af de fire familier af Dynkin-diagrammer (og er ikke inkluderet ) og tre af de fem ekstraordinære Dynkin-diagrammer ( og er ikke inkluderet ). $B_{n}$ $C_{n}$ $F_{4}$ $G_{2}$

Listen er ikke overflødig, hvis den tages for . Hvis vi udvider familierne, får vi exceptionelle isomorfier $n\geqslant 4$ $D_{n}$

D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},

og de tilsvarende isomorfismer af de objekter, der klassificeres.

Spørgsmålet om at skabe en fælles begyndelse af en sådan klassifikation (i stedet for at identificere paralleller empirisk) blev rejst af Arnold i rapporten "Problems of Modern Mathematics" [1] .

Klasserne , , inkluderer også en-tråds endelige Coxeter-grupper med de samme diagrammer - i dette tilfælde er Dynkin-diagrammerne nøjagtigt de samme som Coxeter-diagrammerne, da der ikke er flere kanter. $EN$ $D$ $E$

Lie algebraer

Med hensyn til komplekse semisimple Lie-algebraer :

$A_{n}$ svarer til en speciel lineær Lie-algebra af operatorer med spor nul , ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),$
$D_{n}$ svarer til en ens speciel ortogonal Lie-algebra af skæv-symmetriske operatorer ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),$
$E_{6},E_{7},E_{8}$ er tre af de fem exceptionelle Lie-algebraer.

Med hensyn til kompakte Lie-algebraer og de tilsvarende enstrengede Lie-grupper :

$A_{n}$ svarer til algebraen for den særlige enhedsgruppe ; ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ $SU(n+1)$
$D_{n}$ svarer til algebraen for en lige projektiv ortogonal gruppe , ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),$ $PSO(2n)$
$E_{6},E_{7},E_{8}$ er tre af de fem usædvanlige kompakte Lie-algebraer .

Binære polyedriske grupper

Den samme klassifikation gælder for diskrete undergrupper , den binære polyedriske gruppe . I det væsentlige svarer binære polyedriske grupper til enstrengede affine Dynkin-diagrammer , og tildelingerne af disse grupper kan forstås ud fra disse diagrammer. Dette forhold er kendt som McKay korrespondancen (efter John McKay ). Forbindelsen med regulære polyedre er beskrevet i Dixons algebraiske teorier [2] . Korrespondancen bruger konstruktionen af McKay-grafer . $SU(2)$ ${\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k}$

Desuden er -korrespondancen ikke en overensstemmelse mellem regulære polytoper og deres reflektionsgrupper . For eksempel i -korrespondancen svarer tetraeder , terning / oktaeder og dodekaeder / icosahedron til , mens refleksionsgrupperne for tetraeder, terning og oktaeder, dodekaeder og icosahedron er tildelinger af Coxeter og $ADE$ $ADE$ $E_{6},E_{7},E_{8}$ $A_{3},BC_{3}$ $H_{3}.$

En orbifold konstrueret med alle diskrete undergrupper fører til en typesingularitet ved oprindelsen, som kaldes Du Val-singulariteten . $\mathbf {C} ^{2}$ $ADE$

McKay-korrespondancen kan også udvides til multiline Dynkin-diagrammer ved at bruge et par binære polyedriske grupper. Denne korrespondance er kendt som Slodovy-korrespondancen (efter den tyske matematiker Peter Slodovy ) [3] .

Mærkede grafer

$ADE$ -grafer og udvidede (affine) -grafer kan beskrives i form af markering af nogle egenskaber [4] , som kan formuleres i form af diskrete Laplace-operatorer [5] eller Cartan-matricer . Beviser i form af Cartan-matricer kan findes i Katz' bog "Infinite dimensional Lie algebras" [6] . $ADE$

Affine -grafer er positivt mærkede grafer (når toppunkter er mærket med positive reelle tal ) med følgende egenskaber: $ADE$

Enhver etiket er en halv sum af tilstødende hjørner.

Det vil sige, der er funktioner, der kun tager positive værdier med en egenværdi på 1 af den diskrete Laplacian (summen af tilstødende toppunkter minus værdien ved toppunktet) - en positiv løsning til den homogene ligning:

\Delta \phi =\phi

Tilsvarende positive funktioner i kernen . Den resulterende opregning er unik op til en konstant faktor, og består med en normalisering, hvor minimumstallet er 1, af små heltal - fra 1 til 6, som afhænger af grafen. $\Delta -I$

Almindelige -grafer er kun positivt mærkede grafer med følgende egenskaber: $ADE$

Enhver etiket er lig med halvdelen af summen af tilstødende hjørner plus en.

Med hensyn til Laplacians er dette en positiv løsning på den homogene ligning:

\Delta \phi =\phi -2

Den resulterende nummerering er unik (op til en konstant faktor, hvis værdi er bestemt af tallet "2") og består af heltal. For disse tal spænder fra 58 til 270 [7] . $E_8$

Andre klassifikationer

Elementære katastrofer klassificeres også ved hjælp af -klassificering. $ADE$

Diagrammer er nøjagtigt kogger af endelig type på grund af Gabriels sætning . $ADE$

Der er også en sammenhæng med generaliserede firkanter , da tre ikke-degenererede generaliserede firkanter med tre punkter på hver linje svarer til systemernes exceptionelle rødder , og = [8] . Klasserne og svarer til de degenererede tilfælde, hvor linjesættet er tomt eller alle linjer går gennem et punkt, henholdsvis [9] . $E_{6}$ $E_7$ $E_8$ $EN$ $D$

Der er en dyb forbindelse mellem disse entiteter bag denne klassifikation, og nogle af disse forbindelser kan forstås gennem strengteori og kvantemekanik .[ angiv ] .

Trinity

Arnold foreslog mange andre forbindelser under overskriften "matematiske treenigheder" [10] [11] og McKay udvidede disse korrespondancer. Arnold brugte udtrykket " treenighed " med en hentydning til religion og foreslog, at disse paralleller (på nuværende tidspunkt) er tættere på tro end på strenge beviser, selvom nogle paralleller er veludviklede. Yderligere blev treenigheden opfanget af andre forfattere [12] [13] [14] . Arnolds treenigheder begynder med (reelle tal, komplekse tal og kvaternioner ), som han bemærkede "alle kender", og fortsætter med andre treenigheder såsom "komplettering" og "kvaternisering" af klassiske (virkelige) matematiske objekter på en lignende måde som den. søg efter symbolske analogier til Riemannsk geometri , som han havde foreslået forud for dette i 1970'erne. Bortset fra eksempler fra differentiel topologi (såsom de karakteristiske klasser ) betragter Arnold de tre symmetrier af regulære polyedre (tetraedrisk, oktaedrisk, icosahedral) som svarende til reelle tal, komplekse tal og kvaternioner, som er relateret til yderligere McKays algebraiske overensstemmelser. $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$

Den nemmeste måde at beskrive McKay-korrespondancen . For det første har udvidede Dynkin-diagrammer (svarende til tetraedriske, oktaedriske og icosaedriske symmetrier) henholdsvis symmetrigrupper og tilhørende foldninger - diagrammer (med mindre nøjagtig notation, forlængelsestegnet - tilde - udelades ofte). Mere væsentligt foreslog McKay en overensstemmelse mellem hjørnerne af diagrammerne og nogle monster - cosets , som er kendt som McKays bemærkning om [15] [16] . McKay tildeler yderligere toppunkter til cosets i (udvidelse af rækkefølge 2 i Baby Monster-gruppen ) og toppunkter til cosets i (udvidelse af rækkefølge 3 i Fishers gruppe ) [16] . Disse er de tre største sporadiske grupper , med rækkefølgen af ekspansion svarende til symmetrierne i diagrammet. ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ ${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1))$ ${\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}$ ${\tilde {E}}_{8}$ $E_8$ ${\tilde {E}}_{7}$ $2.B$ ${\tilde {E}}_{6}$ $3.Fi_{24}'$

Hvis vi går fra store simple grupper til små, har grupperne svarende til regulære polytoper og en forbindelse med de projektive specialgrupper , og (af størrelsesordenen 60, 168 og 660) [17] [13] . Disse grupper er de eneste (simple) grupper med en sådan værdi , at den handler ikke-trivielt på punkter , et faktum, der går tilbage til Évariste Galois ' arbejde i 1830'erne. Faktisk nedbrydes grupper til et produkt af mængder (men ikke et produkt af grupper) som følger: og disse grupper er også relateret til forskellige geometrier (begyndende med Felix Kleins arbejde i 1870'erne) [18] . Tilknyttede geometrier (fliser på Riemann-overflader ), hvori man kan se virkningen på punkter, er som følger: er symmetrigruppen af icosahedron (slægt 0) på en forbindelse af fem tetraedre som et 5-elementsæt, er symmetrigruppen af Klein - kvartikken (slægt 3) på indlejret Fano-plan som et 7-elementsæt (dobbeltplan af orden 2) og er symmetrigruppen af Buckminsterfulleren -overfladen (slægt 70) på det indlejrede dobbelte Paley-plan som et 11-elements sæt ( dobbelt plan af orden 3) [19] . Af disse har icosaedre været kendt siden antikken, Klein quartics blev introduceret af Klein i 1870'erne, og buckyball overflader blev introduceret af Pablo Martin og Seegerman i 2008. ${\displaystyle A_{4},S_{4))$ $A_{5}$ $PSL(2,5)$ $PSL(2,7)$ $PSL(2,11)$ $s$ $PSL(2,p)$ $s$ $A_{4}\ gange Z_{5},$ $S_{4}\ gange Z_{7}$ $A_{5}\time Z_{11}.$ $s$ $PSL(2,5)$ $PSL(2,7)$ $PSL(2,11)$

McKay forbinder også , og henholdsvis med 27 linjer på en kubisk overflade , 28 dobbelttangens af et kvarts og 120 triple tangentplaner af en sjetteordens kanonisk kurve med slægt 4 [20] [21] . $E_{6}$ $E_7$ $E_8$

Se også

Elliptisk overflade

Bemærk

↑ Arnold, 1976 .
↑ Dickson, 1959 .
↑ Stekolshchik, 2008 .
↑ Proctor, 1993 , s. 937-941.
↑ Proctor, 1993 , s. 940.
↑ Kac, 1990 , s. 47-54.
↑ Bourbaki, 1972 .
↑ Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976 , s. 305-327.
↑ Chris, Royle, 2001 .
↑ Vladimir Arnold, 1997, Toronto Lectures, Lecture 2: Symplectization, Complexification and Mathematical Trinities Arkiveret 9. december 2015 på Wayback Machine , juni 1997 (sidst opdateret august, 1998). TeX Arkiveret 24. september 2015 på Wayback Machine , PostScript Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine , PDF Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine
↑ Polymatematik: er matematik en enkelt videnskab eller et sæt kunstarter? Arkiveret 9. december 2015 på Wayback-maskinen på serveren 10/03/99, abstrakt arkiveret 4. marts 2016 på Wayback-maskinen , TeX Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback-maskinen , PostScript Arkiveret 24. september 2015 på Wayback-maskinen , PDF Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine ; se tabel på side 8
↑ Les trinités remarquables Arkiveret 23. april 2015 på Wayback Machine , Frédéric Chapoton Arkiveret 10. marts 2015 på Wayback Machine (fr.)
↑ 12 le Bruyn , 2008 .
↑ le Bruyn, 2008-2 .
↑ Duncan, 2009 .
↑ 12 le Bruyn , 2009 .
↑ Kostant, 1995 , s. 959-968.
↑ Kostant, 1995 .
↑ Martin, Singerman, 17/04/2008 .
↑ Arnold 1997, s. 13
↑ McKay, Sebbar, 2007 , s. 373-386.

Litteratur

N. Bourbaki. Løgngrupper og algebraer. - Moskva: "Mir", 1972. - (Elementer i matematik).
Vladimir Arnold. Matematiske udviklinger som følge af Hilbert-problemer / Felix E. Browder . - American Mathematical Society , 1976. - V. 28. - (Proceedings of symposia in pure mathematics). (Opgave VIII. ADE- klassifikationerne).
Leonard E. Dickson. XIII: Grupper af de regulære faste stoffer; Quintiske ligninger // Algebraiske teorier. — New York: Dover Publications, 1959.
PJ Cameron, JM Goethals, JJ Seidel, EE Shult. Linjegrafer, rodsystemer og elliptisk geometri // Journal of Algebra. - 1976. - Udgave. 43 .
Pablo Martin, David Singerman. Fra Biplanes til Klein Quartic og Buckyball. - 17/04/2008.
John F. Duncan. Grupper og symmetrier: fra neolitiske skotter til John McKay / John Harnad, Pavel Winternitz. - Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2009. - V. 47. - (CRM Proceedings & lecture notes). - ISBN 978-08218-4481-6 .
Bertram Costant. Grafen over det trunkerede Icosahedron og Galois' sidste bogstav. — Bemærker Amer. Matematik. Soc.. - 1995. - Vol. 42. Se Indlejringen af PSl(2, 5) i PSl(2, 11) og Galois' brev til Chevalier.
Lieven le Bruyn. Galois' sidste brev. - 2008. Arkiveret 15. august 2010.
Michiel Hazewinkel, Hesseling, JD. Siersma, F. Veldkamp. Almindeligheden af Coxeter Dynkin-diagrammer. (En introduktion af ADE-problemet) // Nieuw Archief v. Wiskunde. - 1977. - T. 35 , no. 3 . — S. 257–307 .
John McKay. Grafer, singulariteter og endelige grupper // Proc. Symp. Ren matematik.. - Amer. Matematik. Soc., 1980. - T. 37 . - S. 183-,265- .
John McKay. The Geometric Vein, Coxeter Festschrift. - Berlin, 1982. - S. 549– .
Victor G. Kac. Infinite-Dimensional Lie Algebras. — 3. - Cambridge: Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0-521-46693-8 .
John McKay. En hurtig introduktion til ADE-teori. - 01/01/2001.
RA Proctor. To underholdende Dynkin Diagram Graph Classifications // The American Mathematical Monthly . - 1993. - T. 100 , no. 10 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2324217 . — .
J. McKay, Abdellah Sebbar. Grænser i talteori, fysik og geometri, II. - Springer, 2007. - doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_10 .
R. Stekolshchik. Noter om Coxeter-transformationer og McKay-korrespondancen. - 2008. - (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-77398-6 . - doi : 10.1007/978-3-540-77398-3 .
Godsil Chris, Gordon Royle. Algebraisk grafteori. - New York: Springer, 2001. - Vol. 207. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 0-387-95241-1 . Kapitel 12
Lieven le Bruyn. Arnolds treenigheder. - 2008-2.
Lieven le Bruyn. Arnolds trinities version 2.0. - 2008-3.
Lieven le Bruyn. monstergrafen og McKays observation. - 2009. Arkiveret 14. august 2010.
Joris van Hoboken. Platoniske faste stoffer, binære polyedriske grupper, kleinske singulariteter og Lie-algebraer af type A,D,E. - 2002. Arkiveret den 26. april 2012.

Links

John Baez , Denne uges fund i Mathematical Physics Arkiveret 7. maj 2015 på Wayback Machine : Uge 62 Arkiveret 30. december 2015 på Wayback Machine , Uge 63 Arkiveret 26. december 2015 på Wayback Machine , Uge 64 Arkiveret 27. december 2015 på Wayback Machine , Uge 65 Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine , 28. august 1995 til 3. oktober 1995 og Uge 230 Arkiveret 14. november 2015 på Wayback Machine 4. maj 2006
McKay-korrespondancen arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine , Tony Smith