Mathieu gruppe

Mathieu-grupper  er fem sporadiske simple grupper , M 11 , M 12 , M 22 , M 23 og M 24 , introduceret af Émile Leonard Mathieu [1] [2] . Grupperne er multiple transitive permutationsgrupper på 11, 12, 22, 23 eller 24 objekter. Disse var de første åbne sporadiske grupper.

Nogle gange bruges notationen M 9 , M 10 , M 20 og M 21 for forbundne grupper (som virker på sæt med henholdsvis 9, 10, 20 og 21 punkter), nemlig punktstabilisatorer i større grupper. Selvom de ikke er sporadiske simple grupper, er de undergrupper af større grupper og kan bruges til at konstruere dem. John Conway viste, at denne sekvens kan udvides til at give en Mathieu M 13 groupoid , der virker på 13 punkter. M 21 er en simpel, men ikke sporadisk gruppe, der er isomorf for PSL(3,4).

Historie

Mathieu [3] introducerede gruppen M 12 som en del af studiet af multiple transitive permutationsgrupper og nævnte kort (på s. 274) gruppen M 24 , hvilket angiver dens rækkefølge. I et papir fra 1873 [2] gav han yderligere detaljer, herunder eksplicitte generatorsæt for disse grupper, men gruppen er ikke let at se ud fra hans argumenter om, at de genererede grupper ikke blot er alternerende grupper , og i flere år var gruppernes eksistens. i tvivl. Miller [4] offentliggjorde endda et papir, der fejlagtigt beviste, at M 24 ikke eksisterer, selvom han kort efter i et papir fra 1900 [5] erkendte, at beviset var mangelfuldt og gav et bevis for, at Mathieu-grupper er simple. Witt [6] [7] afsluttede endelig tvivlen om disse gruppers eksistens ved at konstruere dem som successive transitive udvidelser af permutationsgrupper såvel som grupper af automorfier af Steiner-systemer .

Efter Mathieu-grupperne blev der ikke opdaget nye sporadiske grupper før 1965, hvor J 1 -gruppen blev opdaget .

Flere transitive grupper

Mathieu var interesseret i at finde multiple transitive permutationsgrupper. For et naturligt tal k er permutationsgruppen G , der virker på n punkter, k -transitiv , hvis der gives to sæt af punkter a 1 , … a k og b 1 , … b k med den egenskab, at alle a i er forskellige og alle b i er forskellige, er der et element g i G , der kortlægger a i til b i for alle i fra 1 til k . En sådan gruppe siges at være akut k -transitiv, hvis grundstoffet g er unikt (det vil sige, at virkningen på k -tupler er regulær (strengt transitiv), ikke kun transitiv).

Gruppen M 24 er 5-transitiv, og gruppen M 12  er skarpt 5-transitiv. Andre Mathieu-grupper (simple og ikke-simple), der er undergrupper svarende til m - punktstabilisatorer, har lavere transitivitet ( M23 er 4 -transitiv osv.).

De eneste 4-transitive grupper er de symmetriske grupper S k for k mindst 4, de alternerende grupper A k for k lig med eller større end 6, og Mathieu-grupperne M 24 , M 23 , M 12 og M 11 [8] .

Det klassiske resultat er Jordans resultat , at kun symmetriske og alternerende grupper (af henholdsvis grader k og k  + 2), samt M 12 og M 11 er skarpt k -transitive permutationsgrupper for k mindst 4.

Vigtige eksempler på multiple transitive grupper er 2-transitive grupper og Zassenhaus-grupper . Zassenhaus-grupper omfatter især den projektive generelle lineære gruppe af den projektive linje over et endeligt felt, PGL(2, F q ), som er skarpt 3-transitiv (se dobbeltrelation ) på elementerne.

Tabel over ordrer og transitivitet

Opbygning af Mathieu-grupper

Mathieu-grupper kan opbygges på forskellige måder.

Permutationsgrupper

M 12 har en simpel undergruppe af orden 660, en maksimal undergruppe. Denne undergruppe er isomorf til den projektive specielle lineære gruppe PSL 2 ( F 11 ) over et felt på 11 elementer . Hvis −1 er angivet med a og uendelighed med b , er de to standardgeneratorer permutationer (0123456789a) og (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Den tredje generator, der giver M 12 , tager elementet x i gruppen F 11 ind i , som i permutationen (26a7)(3945).

Denne gruppe er ikke isomorf for nogen af ​​medlemmerne af uendelige familier af endelige simple grupper og kaldes sporadisk. M 11 er en punktstabilisator i M 12 og viser sig også at være en sporadisk simpel gruppe. M 10 , stabilisatoren af ​​to punkter, er ikke sporadisk, men er en næsten simpel gruppe, hvis kommutant er den alternerende gruppe A 6 . Det er relateret til den usædvanlige ydre automorfi i gruppen A 6 . 3-punkts stabilisatoren er en projektiv speciel enhedsgruppe PSU(3,2 2 ), som er løselig. 4-punkts stabilisatoren er en quaternion gruppe .

Tilsvarende har M24 en maksimal simpel undergruppe af orden 6072 isomorf til PSL2 ( F23 ) . En generator tilføjer 1 til hvert element i feltet (efterlader punktet N ved uendeligt fast), det vil sige permutationen (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ), og den anden er den rækkefølge-omvendte permutation , (0N)(1M)(2B )(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Den tredje generator, der giver M 24 , oversætter elementet x i gruppen F 23 til . Beregninger viser, at dette er en permutation af (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Stabilisatorer 1 og 2 point, M 23 og M 22 viser sig også at være sporadiske simple grupper. 3-punkts stabilisatoren er en simpel gruppe og er isomorf til den projektive specielle lineære gruppe PSL 3 (4).

Disse konstruktioner er blevet citeret af Carmichael [9] . Dixon og Mortimer [10] tilskriver permutationerne til Émile Mathieu.

Automorfi-grupper af Steiner-systemer

Der eksisterer , op til ækvivalens , et unikt S (5,8,24) Steiner-system W 24 ( Witt-skema ). Gruppen M 24 er automorfigruppen i dette Steiner-system, det vil sige det sæt af permutationer, der afbilder hver blok til en anden blok. Undergrupperne M 23 og M 22 er defineret som stabilisatorerne af henholdsvis et punkt og to punkter.

Tilsvarende eksisterer der op til ækvivalens et unikt S(5,6,12) Steiner-system W12 , og gruppen M12 er dens automorfigruppe. Undergruppen M 11 er en punktstabilisator.

W 12 kan konstrueres ud fra affin geometri på vektorrummet F 3 × F 3 , systemet S (2,3,9).

En alternativ konstruktion af W 12  er "killingen" af Curtis [11] .

En introduktion til at bygge W 24 med R. T. Curtis' vidunderlige oktadgenerator og Conways W 12 analog ( ) kan findes i Conway og Sloans bog .

Automorfi-grupper af Golay-koder

Gruppen M 24 er gruppen af ​​automorfier af permutationer af den udvidede binære Golay-kode W , det vil sige gruppen af ​​permutationer på 24 koordinater, der afbilder W ind i sig selv. Alle Mathieu-grupper kan konstrueres som permutationsgrupper af binære Golay-koder.

M12 har indeks 2 i sin automorfigruppe, og M12 : 2 er isomorf til en undergruppe af M24 . M 12 er en kodestabilisator med 12 enheder. M 12 :2 stabiliserer sektionen i to komplementære koder på 12 bit.

Der er en naturlig forbindelse mellem Mathieu-grupper og større Conway-grupper , da Leach-gitteret blev bygget på den binære Golay-kode, og begge grupper faktisk ligger i et rum med dimension 24. Conway-grupper findes i Monster . Robert Gries henviser til de 20 sporadiske grupper fundet i Monster som The Happy Family , og til Mathieu-grupperne som den første generation .

Dessins d'enfants

Mathieu-grupper kan konstrueres ved hjælp af dessins d'enfants (fr: børnetegning) [12] , og tegningen forbundet med M 12 kaldes "Monsieur Mathieu" (Monsieur Mathieu) [13] af le Brun .

Noter

1. ↑ Mathieu, 1861 .
2. ↑ 12 Mathieu , 1873 .
3. ↑ Mathieu, 1861 , s. 271.
4. ↑ Miller, 1898 .
5. ↑ Miller, 1900 .
6. ↑ Witt, 1938a .
7. ↑ Witt, 1938b .
8. ↑ Cameron, 1999 , s. 110.
9. ↑ Carmichael, 1956 , s. 151, 164, 263.
10. ↑ Dixon, Mortimer, 1996 , s. 209.
11. ↑ Curtis, 1984 .
12. ↑ Bogstaveligt talt - et barns tegning (fr.). Udtrykket blev foreslået af Grothendieck for en af ​​typerne af indlejringer af grafer.
13. ↑ le Bruyn, 2007 .

Litteratur

• Gorenstein D. Finite simple grupper. - 1985.
• Peter J. Cameron. Permutationsgrupper. - Cambridge University Press , 1999. - V. 45. - (London Mathematical Society Student Texts). - ISBN 978-0-521-65378-7 .
• Robert D. Carmichael. Introduktion til teorien om grupper af endelig orden . - New York: Dover Publications , 1956. - ISBN 978-0-486-60300-1 . Originalt udgivelsesår: 1937
• C. Choi. Om undergrupper af M 24 . I: Stabilisatorer af delmængder // Transaktioner fra American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972a. - maj ( v. 167 ). — S. 1–27 . - doi : 10.2307/1996123 . — .
• C. Choi. Om undergrupper af M 24 . II: de maksimale undergrupper af M 24  // Transaktioner fra American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972b. - maj ( v. 167 ). — S. 29–47 . - doi : 10.2307/1996124 . — .
• John Horton Conway . Tre forelæsninger om ekstraordinære grupper // Finite simple groups / MB Powell, Graham Higman. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - s. 215-247. — (Proceedings of an Instructional Conference arrangeret af London Mathematical Society (et NATO Advanced Study Institute), Oxford, september 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Genoptrykt iConway, Sloane, 1999, s. 267-298
• John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, RT Curtis, Robert A. Wilson. Atlas over endelige grupper . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
• John Horton Conway , Neil JA Sloane . Kuglepakninger, gitter og grupper . — 3. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
• Curtis RT En ny kombinatorisk tilgang til M₂₄ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 , no. 1 . — S. 25–42 . — ISSN 0305-0041 . - doi : 10.1017/S0305004100052075 .
• , ISSN 0305-0041 , DOI 10.1017/S0305004100053251 
• Curtis RT Steiner-systemet S(5, 6, 12), Mathieu-gruppen M₁₂ og "killingen" // Beregningsgruppeteori. Proceedings of the London Mathematical Society symposium afholdt i Durham, 30. juli-9. august 1982. / Michael D. Atkinson. - Boston, MA: Academic Press , 1984. - s. 353-358. — ISBN 978-0-12-066270-8 .
• Hans Cuypers. Mathieu-grupperne og deres geometrier . - 1998.
• John D. Dixon, Brian Mortimer. Permutationsgrupper . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1996. - V. 163. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94599-6 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 .
• Ferdinand Georg Frobenius . Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen . - Mouton De Gruyter, 1904. - S. 558-571. — (Berlin Berichte). — ISBN 978-3-11-109790-9 .
• Robert L. Jr. Griess. Tolv sporadiske grupper. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Springer Monographs in Mathematics). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
• Emil Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1861. - T. 6 . — S. 241–323 .
• Emil Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1873. - T. 18 . — S. 25–46 .  (utilgængeligt link) Sprog: Fransk
• Miller GA Om den formodede femdobbelte transitive funktion af 24 elementer og 19!/48 værdier.  // Matematikkens budbringer. - 1898. - T. 27 . — S. 187–190 .
• Miller GA Sur plusieurs groupes simples  // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1900. - T. 28 . — S. 266–267 .
• Mark Ronan. Symmetri og monsteret. - Oxford, 2006. - ISBN 978-0-19-280722-9 . (en introduktion til læglæseren, der beskriver Mathieu-grupperne i en historisk kontekst)
• Thomas M. Thompson. Fra fejlkorrigerende koder over kuglepakninger til simple grupper . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monographs). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
• Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. - T. 12 . — S. 265–275 . — ISSN 0025-5858 . - doi : 10.1007/BF02948948 .
• Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. - 1938b. - T. 12 . — S. 256–264 . - doi : 10.1007/BF02948947 .
• Lieven le Bruyn. Monsieur Mathieu . - 2007. Arkiveret 1. maj 2010.

Links

• ATLAS: Mathieu group M 10 Arkiveret 14. maj 2011 på Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 11 Arkiveret 14. maj 2011 på Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 12 Arkiveret 16. juli 2011 på Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 20 Arkiveret 16. juli 2011 på Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 21 Arkiveret 16. juli 2011 på Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 22 Arkiveret 16. juli 2011 på Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 23 Arkiveret 16. juli 2011 på Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M 24 Arkiveret 16. juli 2011 på Wayback Machine
• Sådan laver du Mathieu Group M 24 .
• Mathieu gruppe M 9 på GroupNames

• Scientific American Arkiveret 8. september 2008 på Wayback Machine Et sæt puslespil baseret på matematikken i Mathieu-grupperne
• Sporadic M12 Arkiveret 2. december 2017 på Wayback Machine En iPhone-app, der implementerer puslespil baseret på M 12 , præsenteret som én "spin"-permutation og en valgbar "swap"-permutation