Conway Group Co1

Conway-gruppen Co 1 er en sporadisk simpel gruppe af orden

2^{21}{\cdot }3^{9}{\cdot }5^{4}{\cdot }7^{2}{\cdot }11{\cdot}13{\cdot }23

= 4157776806543360000 ≈ 4⋅10 18 .

Historie og egenskaber

Co 1 er en af 26 sporadiske grupper og blev opdaget af John Horton Conway i 1968. Gruppen er den største af Conways tre sporadiske grupper og kan opnås som kvotienten af Co 0 ( den oprindelsesbevarende automorfigruppe af Leach-gitteret ) ved dets centrum , som består af skalarmatricer ±1 [1] . Gruppen opstår også i toppen af automorfigruppen af et jævnt 26-dimensionelt unimodulært gitter II 25,1 . Nogle, ikke helt klare, kommentarer i Witts samling af værker tyder på, at han fandt Leach-gitteret, og muligvis rækkefølgen af dets automorfigruppe, i et upubliceret papir fra 1940. $\lambda$

Gruppen af ydre automorfier i gruppen Co 1 er triviel, og Schur-multiplikatoren har orden 2.

Involutioner

Co 0 har 4 cosæt af involutioner. De trækker sig sammen til 2 i Co 1 , men der er 4-elementer i Co 0 , der svarer til den tredje klasse af involutioner i Co 1 .

Billedet af 12-elements sæt (dodecads) har en centralizer af type 2 11 :M 12 :2, som er indeholdt i en maksimal undergruppe af type 2 11 :M 24 .

Billedet af oktader eller 16-elementsæt har en centralisering af formen 2 1+8 .O 8 + (2), den maksimale undergruppe.

Visninger

Den mindste nøjagtige permutationsrepræsentation af gruppen Co 1 består af 98280 par { v ,– v } af vektorer med norm 4.

Centralizeren af type 2B involution i monsteret har formen . $2^{1+24}\mathrm {Co} _{1}$

Dynkin-diagrammet for et jævnt Lorentzian unimodulært gitter II 1,25 er isometrisk til det (affine) Leach-gitter , så avomorfigruppen i diagrammet er en delt forlængelse , Co 0 af affine isometrier af Leach-gitteret. $\lambda$ $\lambda$

Maksimale undergrupper

Wilson [2] fandt 22 cosets af maksimale undergrupper af gruppen Co 1 , selvom der var flere fejl i hans oprindelige liste, som han rettede senere [3] .

Co 2
3. Suz :2 Opløftning fikserer en kompleks struktur eller ændrer den til en konjugeret struktur. Toppen af Suzuki Tower . $\mathrm {Aut} (\Lambda )$
2 11 : M 24 Løft til fikserer rammen af vektorer [4] . Billedet af den monomiale undergruppe [5] af gruppen $\mathrm {Aut} (\Lambda )$ $\mathrm {Aut} (\Lambda )$
Co 3
$2^{1+8}.\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$ involution centralizer (billede af octads fra ) $\mathrm {Aut} (\Lambda )$
${\displaystyle \mathrm {U} _{6}(2):\mathrm {S} _{3))$
$(\mathrm {A} _{4}\times \mathrm {G} _{2}(4)):2$ i Suzuki-kæden [6] .
$2^{2+12}:(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{3})$
$2^{4+12}.(\mathrm {S} _{3}\ gange 3.\mathrm {S} _{6})$
${\displaystyle 3^{2}.\mathrm {U} _{4}(3).\mathrm {D} _{8))$
3 6 :2. M 12 ( holomorf af den ternære Golay-kode )
(A 5 × J 2 ):2 i Suzuki-kæden
$3^{1+4}:2.\mathrm {PSp} _{4}(3).2$
$(\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {U} _{3}(3)).2$ i Suzuki-kæden
$3^{3+4}:2.(\mathrm {S} _{4}\times \mathrm {S} _{4})$
${\displaystyle \mathrm {A} _{9}\ gange \mathrm {S} _{3))$ i Suzuki-kæden
$(\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {L} _{2}(7)):2$ i Suzuki-kæden
$(\mathrm {D} _{10}\times (\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}).2$
$5^{1+2}:\mathrm {GL} _{2}(5)$
$5^{3}:(4\gange \mathrm {A} _{5}).2$
$7^{2}:(3\ gange 2.\mathrm {S} _{4})$
$5^{2}:2\mathrm {A} _{5}$

Noter

↑ Diagonal matrix, hvis alle elementer er lige store
↑ Wilson, 1983 .
↑ Wilson, 1988 .
↑ Vektorer med længde 8 i Leach-gitteret er opdelt i 48 par indbyrdes vinkelrette vektorer, som kaldes koordinatpar ( Wilson 2009 ).
↑ En endelig gruppe G kaldes en monomial eller -gruppe, hvis alle dens irreducerbare karakterer er induceret af lineære tegn i undergrupper af G ( Fedorov 2007 ). ${\mathcal {M}}$
↑ Suzuki-kæden eller Suzuki-tårnet er følgende permutationsgrupper af rang 3: . $G_{2}(2)=U(3,3)\cdot 2,J_{2}\cdot 2,G_{2}(4),\mathrm {Suz} \cdot 2$

Litteratur

John Horton Conway . En perfekt gruppe af orden 8.315.553.613.086.720.000 og de sporadiske simple grupper // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - 1968. - T. 61 , no. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
Teori om endelige grupper: Et symposium / Brauer R. , Chih-han Sah. — W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
John Horton Conway . En gruppe på 8.315.553.613.086.720.000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1969. - T. 1 . — s. 79–88 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/1.1.79 .
John Horton Conway . Tre forelæsninger om ekstraordinære grupper // Finite simple groups / Powell MB, Graham Higman. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - s. 215-247. — (Proceedings of an Instructional Conference arrangeret af London Mathematical Society (et NATO Advanced Study Institute), Oxford, september 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Genoptrykt iConway, Sloane, 1999, 267-298
John Horton Conway , Neil JA Sloane . Kuglepakninger, gitter og grupper . — 3. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
Thomas M. Thompson. Fra fejlkorrigerende koder over kuglepakninger til simple grupper . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monographs). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis RT, Robert A. Wilson. Atlas over endelige grupper . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
Robert L. Jr. Griess. Tolv sporadiske grupper. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Springer Monographs in Mathematics). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
Robert A. Wilson. De maksimale undergrupper af Conways gruppe Co₁ // Journal of Algebra . - 1983. - T. 85 , no. 1 . — S. 144–165 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 .
Robert A. Wilson. På de 3-lokale undergrupper af Conways gruppe Co₁ // Journal of Algebra . - 1988. - T. 113 , no. 1 . — S. 261–262 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 .
Robert A. Wilson. The finite simple groups.. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. - (Graduate Texts in Mathematics 251). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
Fedorov S. N. Monomialitet af endelige grupper med visse betingelser på klasserne af konjugerede elementer // Fundam. og appl. Mat.. - 2007. - V. 13 , no. 5 . — S. 201–212 .

Links

MathWorld: Conway Groups Arkiveret 29. oktober 2017 på Wayback Machine
Atlas over endelige grupperepræsentationer: Co 1 version 2
Atlas of Finite Group Representations: Co 1 Arkiveret 27. marts 2008 på Wayback Machine version 3

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation